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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:01 Sa 05.11.2005 | | Autor: | AriR |
Hey Leute hab folgende Folge gegeben :
[mm] a_{n}= \bruch{3*n^{2}}{n^{2}+3}
[/mm]
durch probieren habe ich herausgefunden, dass der Grenzwert möglicherweise "3" ist. Jetzt ist dies noch zu beweisen:
d.h. per definition gibt es ein [mm] \varepsilon [/mm] >0 und [mm] N\IN [/mm] für die gelten:
[mm] |\bruch{3*n^{2}}{n^{2}+3} [/mm] - 3 | < [mm] \varepsilon [/mm] für alle n [mm] \ge [/mm] N
[mm] |\bruch{6}{n^{2}+3}|< \varepsilon
[/mm]
dann habe ich ausgerechnet was ich für n einsetzen kann um
[mm] |\bruch{6}{n^{2}+3}|= \varepsilon [/mm] zu erhalten, nämlich [mm] \wurzel{\bruch{6}{\varepsilon}-3}. [/mm] Jetzt weiß ich, das wenn ich das für n in [mm] a_{n} [/mm] einsetze ich epsilon enthalte, da aber [mm] n\IN, [/mm] kann ich nach archimedes sagen, dass es sicher eine nächstgrößere natürliche Zahl zu [mm] \bruch{6}{n^{2}+3}gibt [/mm] (welches dann N ist), zu der man sagen kann, wenn man sie für n einsetzt, [mm] a_{n} [/mm] kleiner ist für [mm] \varepsilon [/mm] für alle [mm] n\ge [/mm] N
qed.
ist das so ein richtiger beweis??
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Hallo Ari,
also bevor du mit der [mm] \varepsilon [/mm] -Definition hantierst, würde ich immer erst mal die Grenzwertsätze benutzen und das geht bei der Folge sehr gut.
Du erweiterst deinen Bruch mit [mm] \bruch{1}{n^{2}} [/mm] und siehst was passiert:
[mm] \bruch{3n^{2}}{3+n^{2}}
[/mm]
[mm] =\bruch{3}{3/n^{2}+1}
[/mm]
[mm] 3/n^{2} [/mm] ist eine Nullfolge für n gegen unendlich und daher folgt mit den Grenzwertsätzen
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{3}{3/n^{2}+1}=\bruch{3}{0+1}=3
[/mm]
Da hast du also richtig vermutet.
VG mathmetzsch
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:21 Sa 05.11.2005 | | Autor: | AriR |
der weg ist sicher viel eleganter, aber wir hatten den beweis für 3/n² in der vorlesung noch nicht und daher müsste ich das dann auch im beweis beweisen. ist den mein weg so wie ich ihn gegangen bin falsch?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:32 Sa 05.11.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Ari!
Siehe meine Antwort unten ...
Bis auf einen kleinen Rechenfehler ist Dein Weg völlig okay ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") !!
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:29 Sa 05.11.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Ari!
Auch Dein Beweis / Nachweis mit dem [mm] $\varepsilon$-Kriterium [/mm] ist richtig ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") !!
Allerdings hast Du Dich etwas verrechnet:
[mm] $\left| \ a_n-a \ \right| [/mm] \ = \ [mm] \left| \ \bruch{3n^2}{n^2+3}-3 \ \right| [/mm] \ = \ [mm] \left| \ \bruch{\red{-9}}{n^2+3} \ \right| [/mm] \ = \ [mm] \bruch{9}{n^2+3} [/mm] \ < \ [mm] \varepsilon$ $\gdw$ $N(\varepsilon) [/mm] \ > \ [mm] \wurzel{\bruch{\red{9}}{\varepsilon}-3 \ }$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:43 Sa 05.11.2005 | | Autor: | AriR |
vielen dank.. warst eine riesen hilfe =)
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