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Forum "Folgen und Reihen" - Grenzwert beweis
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Grenzwert beweis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:01 Sa 05.11.2005
Autor: AriR

Hey Leute hab folgende Folge gegeben :
[mm] a_{n}= \bruch{3*n^{2}}{n^{2}+3} [/mm]

durch probieren habe ich herausgefunden, dass der Grenzwert möglicherweise "3" ist. Jetzt ist dies noch zu beweisen:

d.h. per definition gibt es ein  [mm] \varepsilon [/mm] >0 und [mm] N€\IN [/mm] für die gelten:
[mm] |\bruch{3*n^{2}}{n^{2}+3} [/mm] - 3 | < [mm] \varepsilon [/mm] für alle n [mm] \ge [/mm] N

[mm] |\bruch{6}{n^{2}+3}|< \varepsilon [/mm]

dann habe ich ausgerechnet was ich für n einsetzen kann um
[mm] |\bruch{6}{n^{2}+3}|= \varepsilon [/mm] zu erhalten, nämlich  [mm] \wurzel{\bruch{6}{\varepsilon}-3}. [/mm] Jetzt weiß ich, das wenn ich das für n in [mm] a_{n} [/mm] einsetze ich epsilon enthalte, da aber [mm] n€\IN, [/mm] kann ich nach archimedes sagen, dass es sicher eine nächstgrößere natürliche Zahl zu [mm] \bruch{6}{n^{2}+3}gibt [/mm] (welches dann N ist), zu der man sagen kann, wenn man sie für n einsetzt, [mm] a_{n} [/mm] kleiner ist für [mm] \varepsilon [/mm] für alle [mm] n\ge [/mm] N

qed.

ist das so ein richtiger beweis??

        
Bezug
Grenzwert beweis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:13 Sa 05.11.2005
Autor: mathmetzsch

Hallo Ari,

also bevor du mit der  [mm] \varepsilon [/mm] -Definition hantierst, würde ich immer erst mal die Grenzwertsätze benutzen und das geht bei der Folge sehr gut.

Du erweiterst deinen Bruch mit [mm] \bruch{1}{n^{2}} [/mm] und siehst was passiert:

[mm] \bruch{3n^{2}}{3+n^{2}} [/mm]
[mm] =\bruch{3}{3/n^{2}+1} [/mm]

[mm] 3/n^{2} [/mm] ist eine Nullfolge für n gegen unendlich und daher folgt mit den Grenzwertsätzen
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{3}{3/n^{2}+1}=\bruch{3}{0+1}=3 [/mm]

Da hast du also richtig vermutet.

VG mathmetzsch

Bezug
                
Bezug
Grenzwert beweis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:21 Sa 05.11.2005
Autor: AriR

der weg ist sicher viel eleganter, aber wir hatten den beweis für 3/n² in der vorlesung noch nicht und daher müsste ich das dann auch im beweis beweisen. ist den mein weg so wie ich ihn gegangen bin falsch?

Bezug
                        
Bezug
Grenzwert beweis: siehe unten
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:32 Sa 05.11.2005
Autor: Loddar

Hallo Ari!


Siehe meine Antwort unten ...


Bis auf einen kleinen Rechenfehler ist Dein Weg völlig okay [daumenhoch] !!


Gruß
Loddar


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Grenzwert beweis: Ergänzung / Rechenfehler
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:29 Sa 05.11.2005
Autor: Loddar

Hallo Ari!


Auch Dein Beweis / Nachweis mit dem [mm] $\varepsilon$-Kriterium [/mm] ist richtig [ok] !!


Allerdings hast Du Dich etwas verrechnet:

[mm] $\left| \ a_n-a \ \right| [/mm] \ = \ [mm] \left| \ \bruch{3n^2}{n^2+3}-3 \ \right| [/mm] \ = \ [mm] \left| \ \bruch{\red{-9}}{n^2+3} \ \right| [/mm] \ = \ [mm] \bruch{9}{n^2+3} [/mm] \ < \ [mm] \varepsilon$ $\gdw$ $N(\varepsilon) [/mm] \ > \ [mm] \wurzel{\bruch{\red{9}}{\varepsilon}-3 \ }$ [/mm]


Gruß
Loddar


Bezug
                
Bezug
Grenzwert beweis: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:43 Sa 05.11.2005
Autor: AriR

vielen dank.. warst eine riesen hilfe =)

Bezug
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