Grenzwert der Ableitung < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:46 Do 11.04.2013 | | Autor: | dertim86 |
| Aufgabe | Es sei [mm] $f:(0,\infty)\rightarrow \mathbb{R}$ [/mm] differenzierbar, so dass die beiden Grenzwerte [mm] $\lim_{x\rightarrow\infty}f(x)$ [/mm] und [mm] $\lim_{x\rightarrow\infty}f'(x)$ [/mm] existieren und endlich sind. Zeigen Sie, dass unter diesen Vorraussetzungen gilt, dass:
[mm] $\lim_{x\rightarrow\infty}f'(x)=0$ [/mm] |
Hallo,
Meine Überlegungen zu dieser Aufgabe:
Da $f$ differenzierbar ist, existiert der Differenzenquotient [mm] $\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$.
[/mm]
Außerdem ist bekannt, dass der Limes von f existiert und endlich ist, also gilt [mm] $\forall \epsilon [/mm] > 0$ [mm] $\exists k\in \mathbb{R}^{+}$ [/mm] sodass [mm] $|f(x)-f(x_0)|<\epsilon$ $\forall [/mm] x > k$.
Ist das soweit korrekt? Mein Ansatz wäre jetzt, [mm] $\epsilon$ [/mm] gegen $0$ laufen zu lassen. Dann würde der Zähler des Differenzenquotienten $0$ werden und somit [mm] $\lim_{x\rightarrow \infty}f'(x) [/mm] = 0$. Damit ist mir allerdings etwas unwohl, weil ich nicht weiß, wie ich das syntaktisch korrekt formuliere.
Ist dieser Ansatz die richtige Herangehensweise oder bin ich auf dem Holzweg?
In beiden Fällen würde ich mich über einen Tipp sehr freuen!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Vielen Dank für Eure Mühe 
LG,
Tim
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> Es sei [mm]f:(0,\infty)\rightarrow \mathbb{R}[/mm] differenzierbar,
> so dass die beiden Grenzwerte [mm]\lim_{x\rightarrow\infty}f(x)[/mm]
> und [mm]\lim_{x\rightarrow\infty}f'(x)[/mm] existieren und endlich
> sind. Zeigen Sie, dass unter diesen Vorraussetzungen gilt,
> dass:
> [mm]\lim_{x\rightarrow\infty}f'(x)=0[/mm]
> Hallo,
>
> Meine Überlegungen zu dieser Aufgabe:
> Da [mm]f[/mm] differenzierbar ist, existiert der
> Differenzenquotient [mm]\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}[/mm].
>
> Außerdem ist bekannt, dass der Limes von f existiert und
> endlich ist, also gilt [mm]\forall \epsilon > 0[/mm] [mm]\exists k\in \mathbb{R}^{+}[/mm]
> sodass [mm]|f(x)-f(x_0)|<\epsilon[/mm] [mm]\forall x > k[/mm].
>
> Ist das soweit korrekt? Mein Ansatz wäre jetzt, [mm]\epsilon[/mm]
> gegen [mm]0[/mm] laufen zu lassen. Dann würde der Zähler des
> Differenzenquotienten [mm]0[/mm] werden und somit [mm]\lim_{x\rightarrow \infty}f'(x) = 0[/mm].
> Damit ist mir allerdings etwas unwohl, weil ich nicht
> weiß, wie ich das syntaktisch korrekt formuliere.
> Ist dieser Ansatz die richtige Herangehensweise oder bin
> ich auf dem Holzweg?
> In beiden Fällen würde ich mich über einen Tipp sehr
> freuen!
Hallo Tim,
erstmal noch ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
mir ist nicht klar, was du mit dem [mm] x_0 [/mm] meinst.
Bezeichne mal z.B. den Grenzwert von f mit a ,
also
$\ [mm] a\,:=\ \limes_{x\to\infty}f(x)$
[/mm]
Es kann gut sein, dass du außer dem x noch eine
weitere Variable brauchst, die du meinetwegen mit
[mm] x_0 [/mm] bezeichnen kannst - aber du solltest genau
sagen, was du mit diesem [mm] x_0 [/mm] meinst. Es genügt
ja wohl nicht, das [mm] x_0 [/mm] als eine für alle Mal fest-
gelegte Konstante zu betrachten.
LG , Al-Chw.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:43 Do 11.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> Es sei [mm]f:(0,\infty)\rightarrow \mathbb{R}[/mm] differenzierbar,
> so dass die beiden Grenzwerte [mm]\lim_{x\rightarrow\infty}f(x)[/mm]
> und [mm]\lim_{x\rightarrow\infty}f'(x)[/mm] existieren und endlich
> sind. Zeigen Sie, dass unter diesen Vorraussetzungen gilt,
> dass:
> [mm]\lim_{x\rightarrow\infty}f'(x)=0[/mm]
> Hallo,
>
> Meine Überlegungen zu dieser Aufgabe:
> Da [mm]f[/mm] differenzierbar ist, existiert der
> Differenzenquotient [mm]\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}[/mm].
>
> Außerdem ist bekannt, dass der Limes von f existiert und
> endlich ist, also gilt [mm]\forall \epsilon > 0[/mm] [mm]\exists k\in \mathbb{R}^{+}[/mm]
> sodass [mm]|f(x)-f(x_0)|<\epsilon[/mm] [mm]\forall x > k[/mm].
>
> Ist das soweit korrekt? Mein Ansatz wäre jetzt, [mm]\epsilon[/mm]
> gegen [mm]0[/mm] laufen zu lassen. Dann würde der Zähler des
> Differenzenquotienten [mm]0[/mm] werden und somit [mm]\lim_{x\rightarrow \infty}f'(x) = 0[/mm].
> Damit ist mir allerdings etwas unwohl, weil ich nicht
> weiß, wie ich das syntaktisch korrekt formuliere.
> Ist dieser Ansatz die richtige Herangehensweise oder bin
> ich auf dem Holzweg?
> In beiden Fällen würde ich mich über einen Tipp sehr
> freuen!
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Vielen Dank für Eure Mühe
> LG,
> Tim
Schau mal hier:
https://matheraum.de/read?t=958458
FRED
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