Grenzwert der Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:56 Do 25.06.2009 | | Autor: | YesWeCan |
| Aufgabe | | berechne [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n^{n}}{{n+1}^{n}} [/mm] |
ich weiss, dass die Lösung 1/e ist aber warum ist das so,
angenommen ich wüsste nicht, dass es 1/e ist, dann würde ich wie folgt vorgehen:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n^{n}}{{n+1}^{n}}=\bruch{n^{n}}{{(n(1+\bruch{1}{n})})^{n}}
[/mm]
also haben wir eine Nullfolge erzeugt nähmlich [mm] \bruch{1}{n}\to0
[/mm]
somit:
[mm] \bruch{n^{n}}{{(n(1)})^{n}}=\bruch{n^{n}}{{n}^{n}}=1
[/mm]
oder:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n^{n}}{{n+1}^{n}}=(\bruch{n}{n+1})^{n}=(\bruch{n(1)}{n(1+\bruch{1}{n})})^{n}=(\bruch{1}{1+\bruch{1}{n}})^{n}
[/mm]
1/n ist eien Nullfolge wie oben also
[mm] (\bruch{1}{1})^{n}=1
[/mm]
lirum larum ich komme immer wieder auf 1
wo ist der Denkfehler?
Gruss
Alex
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:05 Do 25.06.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Alex!
Du kannst diese Aufgabe nur lösen, wenn Du folgenden Grenzwert kennst:
[mm] $$\limes_{n\rightarrow\infty}\left(1+\bruch{1}{n}\right)^n [/mm] \ = \ e$$
Du darfst Dich hier also nicht verführen zu lassen, dass in der Klammer angeblich der Grenzwert 1 entsteht.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:54 Do 25.06.2009 | | Autor: | YesWeCan |
| Aufgabe | | [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{1}{n})^{n} [/mm] |
warum ist die Klammer im Unendlichen nicht 1? 1/n ist eine Nullfolge, bleibt nur 1 in der Klammer?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:02 Do 25.06.2009 | | Autor: | MaRaQ |
Weil du die Grenzwerte nicht unabhängig voneinander betrachten darfst/kannst.
Denn die Grenzprozesse finden ja gleichzeitig statt.
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{1}{n})^{n}[/mm]
> warum ist die Klammer im Unendlichen nicht 1? 1/n ist eine
> Nullfolge, bleibt nur 1 in der Klammer?
Naiv gesagt, wächst die Potenz des gesamten Ausdrucks ein kleines bisschen schneller, als der Ausdruck in der Klammer gegen 1 läuft...
Der Grenzwert dieser Folge ist sehr bekannt - und ich bin mir sicher, dass er in deiner Vorlesung vorkam.
Falls nicht, ist ![[]](/images/popup.gif) hier eine gute Erklärung.
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| Aufgabe |
berechne [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n^{n}}{{n+1}^{n}}[/mm] |
Hallo Alex,
dies ist eine sehr einfache Aufgabe, bei der
es kaum was zu rechnen gibt !
Antwort: [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n^{n}}{{n+1}^{n}}=\infty[/mm]
Vermutlich hast du aber eine andere Aufgabe gemeint ... 
Al-Chwarizmi
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