Grenzwert der Folge < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:48 So 29.05.2005 | | Autor: | Dhamo |
Hallo Mathematiker!
Ich habe diese Aufgabe:
[mm] a_{1} [/mm] und [mm] a_{2} [/mm] seien linear unabhängige Vektoren im RxR.Man bestimme den Grenzwert der Folge $ [mm] \{ a_{i} | i=1,2,..... \} [/mm] $ [mm] $a_{i+2}$ [/mm] = $ [mm] \bruch{a_{i} + a_{i+1}}{2} [/mm] $
Die Frage ist,wie man mit solche Übungen umgeht,wobei [mm] a_{1} [/mm] und [mm] a_{2} [/mm] vektoren sind. Kann mir jemand ein paar Tipps geben wie dieser Afgabe laufen soll.
Mfg
Dhamo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:56 So 29.05.2005 | | Autor: | Micha |
Hallo Dhamo!
> Hallo Mathematiker!
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> Ich habe diese Aufgabe:
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> [mm]a_{1}[/mm] und [mm]a_{2}[/mm] seien linear unabhängige Vektoren im
> RxR.Man bestimme den Grenzwert der Folge [mm]\{ a_{i} | i=1,2,..... \}[/mm]
> [mm]a_{i+2}[/mm] = [mm]\bruch{a_{i} + a_{i+1}}{2}[/mm]
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> Die Frage ist,wie man mit solche Übungen umgeht,wobei
> [mm]a_{1}[/mm] und [mm]a_{2}[/mm] vektoren sind. Kann mir jemand ein paar
> Tipps geben wie dieser Afgabe laufen soll.
>
Bei solchen Grenzwerten mit Vektorfolgen betrachtet man die Konvergenz der folgen für jede Komponente. Es gilt dabei:
$ [mm] \lim_{i \to \infty} (a_i)$ [/mm] ex. [mm] $\gdw \lim_{i\to \infty} ((a_k)_i) [/mm] $ ex. [mm] $\forall [/mm] k = 1.. n$ also für jede Komponente [mm] $(a_k)$
[/mm]
Nunja und
[mm]\bruch{a_{i} + a_{i+1}}{2}[/mm] ist einfach die vektorielle Addition, die ebenfalls Komponentenweise erklärt ist.
Gruß Micha 
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 14:43 Di 31.05.2005 | | Autor: | Freak84 |
Hi
Ich habe die gleich Aufgabe und weiß auch nicht was ich genau machen soll.
Grapfisch erkenn ich, dass eine einen bestimmten Vektor gibt dem sich genähert wird.
nur was meinst du denn mit ex. und was ist bei dir [mm] a_{k}
[/mm]
vielen dank
Michael
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:25 Di 31.05.2005 | | Autor: | bravo |
Hey Matheraum,
auch ich habe die gleich Aufgabe zu bewältigen und möchte im folgendem meine Gedanken präsentieren.
[mm] a_1 [/mm] und [mm] a_2 [/mm] sollen zwei linear unabhängige Vektoren im [mm] R^2 [/mm] sein. Also habe ich für [mm] a_1 [/mm] = (1;0) und für [mm] a_2 [/mm] = (0;1) genommen. Hier ist meine erste Frage zu: Kann ich hiervon ausgehen und den Rest der linear unabhängigen Vektoren o.B.d.A annehmen? Eigentlich müsste das doch so sein (Hat das eigentlich auch etwas mit dem Intervallschachtelungsprinzip zu tun?).
Nachdem ich das gemacht hatte, habe ich einfach die nächsten Vektoren bis [mm] a_6 [/mm] berechnet. Diese sahen wie folgt aus: [mm] a_3 [/mm] = ({1 [mm] \br [/mm] 2} ; {1 [mm] \br [/mm] 2}), [mm] a_4 [/mm] = ({1 [mm] \br [/mm] 4} , {3 [mm] \br [/mm] 4}), [mm] a_5 [/mm] = ({3 [mm] \br [/mm] 8} , {5 [mm] \br [/mm] 8}) und [mm] a_6 [/mm] = ({5 [mm] \br [/mm] 16} , ({11 [mm] \br [/mm] 16}) ... .
Hiebei ist auch etwas aufgefallen, aber ich werde erstmal diese paar Zeilen posten, weil ich mir nicht sicher bin ob alles richtig angezeigt wird...(wenn alles so ist wie es aussehen soll, schreibe ich weiter)
So weit schon mal grüße von mir
Die Langeweile
ist der auf die Zeit verteilte Schmerz.
(Leonce und Lena)
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(Frage) für Interessierte | | Datum: | 22:49 Di 31.05.2005 | | Autor: | bravo |
Gut so sollte es in etwa aussehen (ist erst mein zweiter Beitrag;habe noch nicht so die Übung darin).
Also aufgefallen ist mir dabei zum Einen, dass die [mm] x_1 [/mm] - Komponente addiert mit der [mm] x_2 [/mm] - Komponente immer 1 ergibt (das ist wahrscheinlich trivial und außerdem wohl auch nicht so interessant...) und zum Anderen, dass es sich hierbei um zwei Folgen handelt, mit denen man die [mm] x_1 [/mm] - Komponente und die [mm] x_2 [/mm] - Komponente bestimmt. d. h. Betrachtet man die [mm] x_1 [/mm] - und die [mm] x_2 [/mm] - Komponente getrennt, um zu beobachten gegen was für einen Punkt sie streben (das ist soweit ich es verstanden habe genau der Grenzwert), dann kommen die ersten [mm] x_1 [/mm] - Komponenten so zu stande: - 1 [mm] \br [/mm] 1 ; + 1 [mm] \br [/mm] 2 ; - 1 [mm] \br [/mm] 4 ; + 1 [mm] \br [/mm] 8 ; - 1 [mm] \br [/mm] 16 ....
und die [mm] x_2 [/mm] - Komponenten so: + 1 [mm] \br [/mm] 1 ; - 1 [mm] \br [/mm] 2 ; + 1 [mm] \br [/mm] 4 ....
Hier könnte ich etwas Hilfe gebrauchen, da mir diese Folge zwar bekannt vorkommt, aber im Moment nicht einfällt (quadratisch Folge?!).
Meine Vermutung daraus lautet: Die [mm] x_1 [/mm] - Komponente strebt gegen 1 [mm] \br [/mm] 3 und die [mm] x_2 [/mm] - Komponente strebt gegen 2 [mm] \br [/mm] 3 .
Eine Idee wie man das beweisen kann habe ich noch nicht direkt, da mir zum einen die Formel für die Entstehung der jeweils nächsten [mm] x_1,2 [/mm] - Komponenten noch nicht eingefallen ist und weil ich mich auch noch nicht so lange mit der Aufgabe beschäftigt habe. Ich könnte mir denken, dass Induktion den Beweis liefert.
So hiermit schließe ich erstmal ab und bin gespannt auf Antworten bzw. Anregungen.
Gruß Sebastian
Die Langeweile
ist der auf die Zeit verteilte Schmerz
(Leonce und Lena)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:18 Do 02.06.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Sebastian!
Es tut mir sehr leid, dass dir keiner deine Frage in der von dir vorgesehenen Fälligkeit beantworten konnte. Vielleicht hast du ja beim nächsten Mal mehr Glück. ![[kleeblatt]](/images/smileys/kleeblatt.gif "[kleeblatt]")
Viele Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:46 Mi 01.06.2005 | | Autor: | bravo |
Hey Leute, habe eben meinen post gelesen und mir ist aufgefallen, dass es nicht richtig geschrieben war. d.h. die Bruchstriche fehlen immer bei den angegebenen [mm] x_1,_2 [/mm] - Komponenten.z.B. soll es richtig heißen [mm] a_3 [/mm] = ( [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ; [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ) etc.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:18 Do 02.06.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Michael!
Es tut mir sehr leid, dass dir keiner deine Frage in der von dir vorgesehenen Fälligkeit beantworten konnte. Vielleicht hast du ja beim nächsten Mal mehr Glück.
Viele Grüße
Julius
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