Grenzwert einer Fkt. < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:59 Mi 13.01.2010 | | Autor: | jogi87 |
| Aufgabe | berechne folgenden Grenzwert:
[mm] \limes_{x\rightarrow\ a}\bruch{x^{n}-a^{n}}{x-a}
[/mm]
Hinweis:
[mm] x^{n}-a^{n}=(x-a)*\summe_{k=0}^{n-1}x^{k}*a^{n-1-k}
[/mm]
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Hallo!
Mit dem Hinweis kürzt sich ja (x-a) heraus, dann bleibt nur noch die Summe stehen.
Irgendwie kann ich diese aber nicht berechnen, da keine Teleskopsumme auftaucht wenn ich mir einzelne Glieder aufschreibe.
Oder bleibt nur das erste glied stehen, da die Summe nur bis n-1 läuft?
Danke für die Hilfe
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Hallo jogi!
Setze einfach innerhalb der verbleibenden Summe für jedes $x_$ ein $a_$ ein. Was erhältst Du?
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:46 Mi 13.01.2010 | | Autor: | jogi87 |
HAllo!
Danke für den Tipp,
wenn ich einsetze:
[mm] (1*a^{n-1})+(a*a^{n-2})+...+(a^{n-1}*1)
[/mm]
Zusammengefasst:
[mm] a^{n-1}+a^{n-1}+a^{n-1}+...
[/mm]
und das ganze n - mal
Also in mein Grenzwert [mm] n*a^{n-1}
[/mm]
oder?
Danke und gruß
Johannes
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Hallo Johannes,
> HAllo!
>
> Danke für den Tipp,
>
> wenn ich einsetze:
>
> [mm](1*a^{n-1})+(a*a^{n-2})+...+(a^{n-1}*1)[/mm]
>
> Zusammengefasst:
>
> [mm]a^{n-1}+a^{n-1}+a^{n-1}+...[/mm]
>
> und das ganze n - mal
> Also in mein Grenzwert [mm]n*a^{n-1}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Oder "schöner" direkt in der Summe eingesetzt und Potenzgesetze benutzt:
[mm] $\lim\limits_{x\to a} ...=\sum\limits_{k=0}^{n-1}\underbrace{a^k\cdot{}a^{n-1-k}}_{=a^{n-1}}=n\cdot{}a^{n-1}$
[/mm]
>
> oder?
Ja, ist richtig!
> Danke und gruß
>
> Johannes
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:56 Mi 13.01.2010 | | Autor: | jogi87 |
OK - Danke!
bis zum nächsten mal...
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