Grenzwert einer Folge < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:23 Do 10.11.2005 | | Autor: | Ronin |
Also die aufgabe lautet:
Beweisen Sie mit Hilfe der [mm] \varepsilon-N \varepsilon-Defnition [/mm] des Grenzwertes, dass:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (n^2-1)/(3*n^2+1)=1/3
[/mm]
die [mm] \varepsilon-N \varepsilon-Defnition [/mm] ist :
[mm] \forall \varepsilon [/mm] >0 [mm] \exists [/mm] N=(N [mm] \varepsilon) \forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] (N [mm] \varepsilon) [/mm] | an-r | < [mm] \varepsilon
[/mm]
So dann hab ich gemacht:
| an-r | < [mm] \varepsilon
[/mm]
| [mm] (n^2-1)/(3*n^2+1)-1/3 [/mm] | < [mm] \varepsilon
[/mm]
| [mm] 3*(n^2-1)-(3*n^2+1)/3*(3*n^2+1) [/mm] | < [mm] \varepsilon
[/mm]
| [mm] -4/(9*n^2+3) [/mm] | < [mm] \varepsilon
[/mm]
[mm] -4/(9*n^2+3) [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
[mm] \wurzel[2]{(-4/(9* \varepsilon))-3} [/mm] < n
Stimmt das so???
hab ich nun bewiesen das an einen Grenzwert (1/3) hat???
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:56 Do 10.11.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo Ronin
Du bist nicht ganz fertig. Du musst ein N angeben. aber nur irgendeines, also darf es gern nicht das kleinst mögliche sein.
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (n^2-1)/(3*n^2+1)=1/3[/mm]
> So dann hab ich gemacht:
>
> | an-r | < [mm]\varepsilon[/mm]
>
> | [mm](n^2-1)/(3*n^2+1)-1/3[/mm] | < [mm]\varepsilon[/mm]
>
> | [mm]3*(n^2-1)-(3*n^2+1)/3*(3*n^2+1)[/mm] | < [mm]\varepsilon[/mm]
>
> | [mm]-4/(9*n^2+3)[/mm] | < [mm]\varepsilon[/mm]
So hier musst du jetzt ein N suchen. wenn 4/(9 [mm] *n^{2})<\varepsilon [/mm] , dann reicht es also [mm] n^{2}>4/9/\varepsilon [/mm] jetzt kannst du [mm] N=4/(9*\varepsilon [/mm] ), dann ist N^(2) [mm] >4/(9*\varepsilon) [/mm] oder du nimmst
[mm] N=2/(3*\wurzel{\varepsilon})
[/mm]
> [mm]-4/(9*n^2+3)[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm]
>
> [mm]\wurzel[2]{(-4/(9* \varepsilon))-3}[/mm] < n
> hab ich nun bewiesen das an einen Grenzwert (1/3) hat???
mit obigem N ja!
einfacher geht es in solchen Fällen mit [mm] n^{k} [/mm] in Zähler und Nenner, indem man durch die höchste Potenz von n, die vorkommt Zähler und Nenner dividiert. Dann sieht man den Grezwert schneller und kann auch leichter ein N raten. denk dran, die meisten machen den Fehler ein N zu suchen, was grade geht. aber du musst nur irgeneins finden auch wenn das kleinst mögliche 10000 mal kleiner ist!
Gruss leduart
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