Grenzwert einer Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:28 Di 23.06.2015 | | Autor: | hilbert |
| Aufgabe | Sei 0<a<1. Zeigen Sie, dass
[mm] \left(n^2+\frac{1}{n}\right)^a-n^{2a}\underset{n\rightarrow\infty}{\longrightarrow} [/mm] 0 |
Hallo Leute!
Diese Aufgabe bereitet mir etwas Schwierigkeiten. Für [mm] a=\frac{1}{2} [/mm] ist das ganze kein Problem, problematisch wirds erst bei dem Parameter a.
Meine Idee ist folgende (die bei [mm] a=\frac{1}{2} [/mm] auch gut funktioniert):
[mm] \left(n^2+\frac{1}{n}\right)^a-n^{2a}=&\frac{[\left(n^2+\frac{1}{n}\right)^a-n^{2a}][\left(n^2+\frac{1}{n}\right)^a+n^{2a}]}{\left(n^2+\frac{1}{n}\right)^a+n^{2a}}
[/mm]
[mm] =&\frac{\left(n^2+\frac{1}{n}\right)^{2a}-n^{4a}}{\left(n^2+\frac{1}{n}\right)^a+n^{2a}}
[/mm]
Wie bekomme ich jetzt die Differenz im Zähler unter Kontrolle?
Vielen Dank im Voraus!
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Hiho,
dein Ansatz bringt in diesem Fall nix.
Klammere [mm] $n^{2\alpha}$ [/mm] aus und stelle so um, dass du einen Ausdruck der Form [mm] \bruch{0}{0} [/mm] erhältst.
Nach einmaligem Anwenden der Regel von l'Hopital erhältst du das Gewünschte.
Gruß,
Gono
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:06 Di 23.06.2015 | | Autor: | M.Rex |
Hallo nochmal
> Sei 0<a<1. Zeigen Sie, dass
>
> [mm]\left(n^2+\frac{1}{n}\right)^a-n^{2a}\underset{n\rightarrow\infty}{\longrightarrow}[/mm]
> 0
> Hallo Leute!
>
> Diese Aufgabe bereitet mir etwas Schwierigkeiten. Für
> [mm]a=\frac{1}{2}[/mm] ist das ganze kein Problem, problematisch
> wirds erst bei dem Parameter a.
>
> Meine Idee ist folgende (die bei [mm]a=\frac{1}{2}[/mm] auch gut
> funktioniert):
>
> [mm]\left(n^2+\frac{1}{n}\right)^a-n^{2a}=&\frac{[\left(n^2+\frac{1}{n}\right)^a-n^{2a}][\left(n^2+\frac{1}{n}\right)^a+n^{2a}]}{\left(n^2+\frac{1}{n}\right)^a+n^{2a}}[/mm]
>
> [mm]=&\frac{\left(n^2+\frac{1}{n}\right)^{2a}-n^{4a}}{\left(n^2+\frac{1}{n}\right)^a+n^{2a}}[/mm]
>
> Wie bekomme ich jetzt die Differenz im Zähler unter
> Kontrolle?
Mit der dritten binomischen Formel
[mm] \left(n^{2}+\frac{1}{n}\right)^{2a}-n^{4a}
[/mm]
[mm] =\left(\left(n^{2}+\frac{1}{n}\right)^{a}\right)^{2}-\left(n^{2a}\right)^{2}
[/mm]
[mm] =\left(\left(n^{2}+\frac{1}{n}\right)^{a}+n^{2a}\right)\cdot\left(\left(n^{2}+\frac{1}{n}\right)^{a}-n^{2a}\right)
[/mm]
>
> Vielen Dank im Voraus!
Nun kannst du kürzen
Marius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:09 Di 23.06.2015 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hallo Marius,
und damit haben wir dann wieder die ursprüngliche Form, die sie ja in den Griff bekommen wollte 
Du hast also die Umformungen nur wieder rückgängig gemacht.....
Gruß,
Gono
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:24 Mi 24.06.2015 | | Autor: | M.Rex |
Hallo Gono.
Das war nicht beabsichtigt, das war eine Antwort, ohne die Aufgabe konkret zu lesen.
Marius
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:09 Mi 24.06.2015 | | Autor: | fred97 |
Mein Vorschlag:
Sei [mm] a_n:=\left(n^2+\frac{1}{n}\right)^a-n^{2a} [/mm] und [mm] f(x):=x^a [/mm] für x>0
Dann ist [mm] a_n=f(n^2+\frac{1}{n})-f(n^2). [/mm] Nach dem Mittelwertsatz gibt es zu jedem n [mm] \in \IN [/mm] ein [mm] $c_n \in (n^2,n^2+\frac{1}{n}) [/mm] mit
[mm] a_n=f'(c_n)(n^2+\frac{1}{n}-n^2)=f'(c_n)*\frac{1}{n}.
[/mm]
Schätzt man [mm] f'(c_n) [/mm] geeignet ab, so folgt
$0 [mm] \le a_n \le \frac{a}{n}$
[/mm]
FRED
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