Grenzwert einer Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:36 Mi 15.02.2006 | | Autor: | cueMath |
| Aufgabe | | a(n) := [mm] (n^n) [/mm] / (2002n!) |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich weiß nicht, wie ich an diese Folge heran gehen soll...
Es ist zu prüfen ob diese Folge konvergent ist und ggf. der Grenzwert!
Wäre für Tips sehr dankbar.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:49 Mi 15.02.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo cueMath,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!!
Zerlege Deine Folge [mm] $a_n [/mm] \ = \ [mm] \bruch{n^n}{2002*n!}$ [/mm] in seine einzelnen Faktoren durch Auflösen der Potenz und der Fakultät:
[mm] $a_n [/mm] \ = \ [mm] \bruch{n^n}{2002*n!} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2002}*\bruch{\overbrace{n*n*n*...*n}^{\text{n Faktoren} }}{\underbrace{1*2*3*...*n}_{\text{n Faktoren}}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2002}*\underbrace{\bruch{n}{1}*\bruch{n}{2}* \bruch{n}{3}*...* \bruch{n}{n}}_{\text{n Faktoren}}$
[/mm]
Nun die Grenzwertbetrachtung, wohin streben die einzelnen Brüche?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:35 Do 16.02.2006 | | Autor: | cueMath |
Der Grenzwert würde also, da unendlich / 1 gegen unendlich strebt, unendlich sein? Oder sind diese Faktoren zu vernachlässigen und der Grenzwert ist 1/2002?
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Hallo cueMath, Loddar und alle anderen Freunde von Zahlenfolgen und
deren Konvergenzverhalten,
das mit den Faktoren, deren Zahl von dem Folgenindex n abhaengt,
muesste man sehr mit Vorsicht geniessen, wie eine Tasse sehr heissen Kaffee.
Also mach doch mal forgendes: Schreib doch mal
n! = [mm] 2^{\Theta (n\log (n)},
[/mm]
d.h. es gibt Konstanten c,C mit
[mm] 2^{c\cdot n\cdot \log (n)} \leq n!\leq 2^{C\cdot n\cdot \log (n)}. [/mm] Das gilt naemlich.
Oder, wenn solch schweres Geschuetz nicht erwuenscht ist, dann schau doch mal nach,
was mit dem Quotientenkriterium los ist.
Viele Gruesse,
Mathias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:11 Do 16.02.2006 | | Autor: | cueMath |
Leider hilft mir dieser Beirag nicht all zu viel...
Da konnte ich mit dem Ansatz von loddar schon mehr anfangen. Wie wäre denn das Ergebnis bzw. der Grenzwert...dann kann ich mir vielleicht selbst helfen. 
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Hallo nochmal,
also sorry, die Methode von Loddar tut es natuerlich !!!
Alle Faktoren sind [mm] \geq [/mm] 1, und damit gilt
[mm] a(n)\geq\frac{1}{2002}\cdot [/mm] n
und die rechte Seite geht gegen [mm] \infty.
[/mm]
Trotzdem ist diese Asymptotik zur Fakultaetsfunktion manchmal sehr
hilfreich und deswegen gut zu wissen.
Viele Gruesse,
Mathias
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