Grenzwert einer Folge < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:40 Di 03.10.2006 | | Autor: | nina13 |
| Aufgabe | Erstellen Sie mit dem GTR eine Wertetabelle und einen Graphen der Folge [mm] (a_{n}). [/mm] Ab welchem Folgenglied ist die Abweichung vom vermuteten Grenzwert weniger als 0,1?
Bestätigen Sie das Ergebnis rechnerisch.
b) [mm] a_{n}=4*(\bruch{1}{3}
[/mm]
c) [mm] a_{n}=(6n+2)/(3n)
[/mm]
d) [mm] a_{n}=(3n^2)/(n^2+5)
[/mm]
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Das Erstellen der Wertetabelle und des Graphen ist kein Problem. Bei b) würde ich sagen, dass der Grenzwert g=0 ist. Aber jetzt weiß ich überhaupt nicht, was ich weiter machen soll.
Wäre nett, wenn mir jemand helfen könnte und sagen, wie man solche Aufgaben löst, also wie ich vorgehen muss.
Danke! 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:14 Di 03.10.2006 | | Autor: | ullim |
Hi nina,
bei Aufgabe b) fehlt bestimmt noch was, da die Folge so nicht von n abhängt.
Zu c)
[mm] a_{n}=\bruch{6n+2}{3n}=2+\bruch{2}{3n} [/mm] Da der letzte Summand monoton gegen 0 konverviert ist der Grenzwert 2. Da der letzte Summand monoton fallend von rechts gegen 0 konvergiert, bedeutet das, dass ab dem kleinsten Wert für n, für den
[mm] \bruch{2}{3n} [/mm] < [mm] \bruch{1}{10} [/mm] gilt, alle weiteren Folgenglieder einen Abstand kleiner als [mm] \bruch{1}{10} [/mm] vom Grenzwert haben. Die erste Zahl die die Ungleichung erfüllt ist n=7.
Zu d)
[mm] a_{n}=\bruch{3n^2}{n^2+5}=\bruch{3}{1+\bruch{5}{n^2}} [/mm] also konvergiert die Folge monoton gegen 3 von links. Es ist die kleinste Zahl n gesucht, für die gilt
[mm] \bruch{3}{1+\bruch{5}{n^2}}=3-0,1=2,9 [/mm] gilt
Auflösen nach n ergibt, [mm] n^2=145, [/mm] also n=13.
mfg ullim
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:25 Di 03.10.2006 | | Autor: | nina13 |
Oh, ja, das hab ich wohl aus Versehen abgeschnitten.
Es heißt natürlich 4*(1/3)^(n-1)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:40 Di 03.10.2006 | | Autor: | nina13 |
Ich verstehe irgendwie nicht, wie man von hier
$ [mm] a_{n}=\bruch{6n+2}{3n} [/mm] zu dem hier [mm] 2+\bruch{2}{3n} [/mm] $ kommt.
Was genau wird hier gemacht und wozu?
Dass der Grenzwert 2 sein muss habe ich verstanden.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:47 Di 03.10.2006 | | Autor: | ullim |
Hi nina13,
einfach den Zähler durch den Nenner dividieren.
[mm] \bruch{6n+2}{3n}=\bruch{6n}{3n}+\bruch{2}{3n}=2+\bruch{2}{3n}
[/mm]
Gemacht wird es dshalb, weil in dem ursprünglichen Ausdruck der Nenner und der Zähler für sich alleine gesehen gegen [mm] \infty [/mm] gehen. Nach der Umformung kann man den Grenzwert dann sofort erkennen.
mfg ullim
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:05 Di 03.10.2006 | | Autor: | ullim |
Hi nina13,
zu b)
Da nun [mm] a_n=4*(\bruch{1}{3})^{n-1} [/mm] gilt, ist es richtig, das der Grenzwert 0 ist.
Wie in den anderen Fällen ist das n zu bestimmen, für das zum erstenmal gilt [mm] a_n [/mm] < [mm] \bruch{1}{10}
[/mm]
Also [mm] 4*(\bruch{1}{3})^{n-1}<\bruch{1}{10} \Rightarrow
[/mm]
[mm] (\bruch{1}{3})^{n-1}<\bruch{1}{40} \Rightarrow
[/mm]
[mm] (n-1)*log(\bruch{1}{3})
[mm] n>\bruch{log(40)}{log(3)}+1 [/mm] also n=5
mfg ullim
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:19 Di 03.10.2006 | | Autor: | nina13 |
Gut, der Rechenweg ist mir fü b) jetzt klar geworden.
Allerdings würde bei mir nicht 5 rauskommen, wenn ich das mit dem Log. so rechne, sondern irgendwas mit 4, 35 oder so.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:39 Di 03.10.2006 | | Autor: | ullim |
Hi nina13,
[mm] \bruch{log(40)}{log(3)}+1=4.358
[/mm]
also die nächste natürliche Zahl ist 5.
Hilft das, oder war der Rechenweg unklar wie man auf n kommt?
mfg ullim
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:57 Di 03.10.2006 | | Autor: | nina13 |
Gut, vielen Dank! Den Rechenweg bis dorthin habe ich schon verstanden.
Jetzt hab ichs ganz kapiert.
Bei d) hab ich allerdings noch Probleme die Gleichung aufzulösen. Wie muss ich hier vorgehen? Der vermutete Grenzwert ist ja 3.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:08 Di 03.10.2006 | | Autor: | ullim |
Hi nina13,
[mm] \bruch{3}{1+\bruch{5}{n^2}}=2,9
[/mm]
mit dem Nenner durchmultiplizieren
dann folgt
[mm] 3=2,9*(1+\bruch{5}{n^2}), [/mm] d.h.
[mm] \bruch{1}{10}=\bruch{14,5}{n^2} [/mm] also
[mm] n^2=145, [/mm] d.h. die nächste natürliche Zahl ist n=13
mfg ullim
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:24 Di 03.10.2006 | | Autor: | nina13 |
Mein Problem ist eher, wie ich vom Ausgansterm auf das hier
$ [mm] \bruch{3}{1+\bruch{5}{n^2}} [/mm] komme.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:31 Di 03.10.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Nina!
Hier wurde zunächst in Zähler und Nenner der Term [mm] $n^2$ [/mm] ausgeklammert und anschließend gekürzt:
[mm] $\bruch{3n^2}{n^2+5} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\blue{n^2}*3}{\blue{n^2}*\left(1+\bruch{5}{n^2}\right)} [/mm] \ = \ ...$
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:00 Mi 04.10.2006 | | Autor: | nina13 |
Vielen Dank nochmal an euch! Ihr habt mir wie immer sehr geholfen, die restlichen Aufgaben konnte ich sogar allein lösen und sie waren sogar richtig
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