Grenzwert einer Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:13 So 09.11.2008 | | Autor: | stefan00 |
| Aufgabe | | Die reelle Folge [mm] (a_n) [/mm] sei wie folgt definiert: Es sind [mm] a_1 [/mm] = 3 und [mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] \bruch{a_n}{2} [/mm] + [mm] \bruch{2}{a_n} [/mm] für alle n [mm] \ge [/mm] 1. Beweisen Sie, dass [mm] (a_n) [/mm] konvergent ist, und berechnen Sie den Grenzwert der Folge. |
Hallo,
hier habe ich keine Idee, wie ich vorgehen kann. wie kann ich die Brüche so umschreiben, dass ich eine Konvergenz erkennen kann?
Vielen Dank für die Hilfe.
Gruß, Stefan.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:09 So 09.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Stefan!
Weise hier nach, dass die genannte Folge sowohl monoton als auch beschränkt ist (z.B. jeweils mittels  vollständiger Induktion).
Dann folgt daraus unmittelbar die Konvergenz.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:35 Mo 10.11.2008 | | Autor: | stefan00 |
Hallo Loddar,
> Weise hier nach, dass die genannte Folge sowohl monoton als
> auch beschränkt ist (z.B. jeweils mittels vollständiger Induktion).
>
> Dann folgt daraus unmittelbar die Konvergenz.
ok, die Folge hat ja eine obere Schranke bei 3 und eine untere bei 2, das sieht man ja durch einsetzen. Jetzt muss ich das mittels vollst. Ind. nachweisen. Ich verstehe das Prinzip der vollst. Ind., aber wie kann ich hier von n auf n+1 schließen, also die Formel für [mm] a_n [/mm] auf [mm] a_{n+1} [/mm] umformen? Monotonie bedeutet ja [mm] a_n \ge a_{n+1}, [/mm] dann muss ich ja [mm] \bruch{a_n}{2}+\bruch{2}{a_{n+1}} [/mm] dafür einsetzen, aber wie?
Vielen Dank für die Hilfe.
Gruß, Stefan.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:23 Mo 10.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Das mit der oberen und unteren Schranke musst du noch zeigen, deine untere auf jeden fall ist falsch.
Nimm an, [mm] a_n [/mm] haette einen GW, weil die Folge begrenzt ist. Dann kannst du ihn ausrechnen weil fuer n gegen [mm] \infty [/mm] dann [mm] a_{n+1}=a_n=a [/mm] ist. und der ist kleiner 2.
das ist falsch, siehe Mittelung von iks
zuerst musst du ueberlegen, ob die folge monoton steigt, oder faellt, oder eine Intervallschachtelung ist. dann erst machst du weiter. vielleicht ist es leichter, wenn du den GW schon kennst?
gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:42 Mo 10.11.2008 | | Autor: | stefan00 |
Hallo,
> Das mit der oberen und unteren Schranke musst du noch
> zeigen, deine untere auf jeden fall ist falsch.
aber wenn ich die Folge nachrechne, dann komme ich ziemlich schnell auf 2... was mache ich falsch?
Also ich habe folgende Ergebnisse:
[mm] a_1=3, a_2=2,166666667, a_3=2,006410256, a_4=2,00001024, a_5=2...
[/mm]
oder rechne ich da falsch?
Danke, Gruß, Stefan.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:56 Mo 10.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Stefan!
Nein, Du rechnest richtig. Diese Werte habe ich ebenfalls erhalten ...
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 14:46 Mo 10.11.2008 | | Autor: | iks |
Moin!
Das 2 eine Schranke ist, zeigt mein anderer Beitrag. Wenn nun der GW existiert dan ist [mm] $lim(a_{n+1})=lim(a_n)=a>0$ [/mm] und die Gleichung
[mm] $a=\frac{a}{2}+\frac{2}{a}\gdw a^2=4\gdw [/mm] a=2$
ist nicht kleiner als 2 wie behauptet.
Zeige also das [mm] $(a_n)$ [/mm] monoton fällt und 2 untere Schranke ist. Dann ist [mm] $(a_n)$ [/mm] konvergent und der GW ist wie oben zu zeigen.
mFg iks
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:37 Mo 10.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo iks
Du hast natuerlich recht, sorrr fuer meinen dummen Fehler
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:55 Mo 10.11.2008 | | Autor: | iks |
Guten Tag erstmal!
Nun gerade bei der Beschränkung nach unten war ich mir recht sicher und wollte dir einen Tipp geben. Auf Grund Loddars Antweort aber mal die komplette Lsg:
Sind [mm] $a,b\in\IR,$ [/mm] und $a,b>0$ dann ist doch sicher:
[mm] $(a-b)^2>0$ [/mm] also [mm] $a^2+b^2-2ab>0$ [/mm] was [mm] $a^2+b^2>2ab$ [/mm] bedeutet
Dies führt dan aber zu: [mm] $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}>2$
[/mm]
Da nun sowohl $b=2$ und [mm] $a=a_n$ [/mm] für alle [mm] $n\in\IN$ [/mm] die oben aufgeführten Bedingungen erfüllen sollte 2 eine Schranke sein.
Bis hier mein Tipp
Hoffe Loddar schreibt noch mal was dazu...
edit:
offrensichtlich sollte oben das $>$ durch ein [mm] $\geq$ [/mm] ersetzt werden, um nicht auch noch [mm] $a\neq [/mm] b$ voraussetzen zu müssen. Ändert an der Schranke 2 nichts.
mFg iks
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:42 Mo 10.11.2008 | | Autor: | stefan00 |
Hi iks,
ok, du meinst also, ich benötige keine vollst. Ind.? Denn es wird ja der GW gezeigt und die Schranke, oder muss ich die Monotonie noch mit Ind. zeigen?
Vielen Dank für die Hilfe.
Gruß, Stefan.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:49 Mo 10.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. musst du mit Hilfe des Beitrags von iks zeigen ,dass 2 ne untere Schranke ist, das kann man nicht durch einstzen zeigen, das zeigt dir nur, was du beweisen willst.
2. musst du dann noch die Monotonie zeigen.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:15 Mi 12.11.2008 | | Autor: | stefan00 |
Hallo,
ich habe diesen Ansatz:
Mit dem Monotonieprinzip:
Eine Folge [mm] (a_n) [/mm] heißt monoton fallend (diese hier ist monoton fallend), falls gilt:
[mm] a_n \ge a_{n+1} [/mm] für alle n [mm] \in \IN.
[/mm]
Somit kann ich zeigen, da alle Folgenglieder positiv sind:
[mm] \bruch{a_{n+1}}{a_n} \le [/mm] 1.
Induktionsanfang:
[mm] a_1=3, a_2=\bruch{13}{18} \le [/mm] 1.
Induktionsschritt:
[mm] \bruch{\bruch{a_n}{2}+\bruch{2}{a_n}}{\bruch{a_{n-1}}{2}+\bruch{2}{a_{n-1}}}=\bruch{\bruch{a^2_n+4}{2a_n}}{\bruch{a^2_{n-1}+4}{2a_{n-1}}}=\bruch{a_n^2+4}{2a_n}*\bruch{2a_{n-1}}{a_{n-1}^2+4}
[/mm]
jetzt hänge ich fest.
Kann mich jemand entklemmen?
Vielen Dank, Gruß, Stefan.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:49 Mi 12.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> ich habe diesen Ansatz:
> Mit dem Monotonieprinzip:
> Eine Folge [mm](a_n)[/mm] heißt monoton fallend (diese hier ist
> monoton fallend), falls gilt:
> [mm]a_n \ge a_{n+1}[/mm] für alle n [mm]\in \IN.[/mm]
> Somit kann ich
> zeigen, da alle Folgenglieder positiv sind:
> [mm]\bruch{a_{n+1}}{a_n} \le[/mm] 1.
> Induktionsanfang:
> [mm]a_1=3, a_2=\bruch{13}{18} \le[/mm] 1.
das verstehe ich nicht. Es ist doch [mm] $a_2=\frac{3}{2}+\frac{2}{3}=\frac{3*3+2*2}{6}=\frac{13}{6}\,.$ [/mm] Du meintest sicherlich [mm] $\frac{a_2}{a_1}=\frac{13}{18} \le 1\,.$ [/mm]
> Induktionsschritt:
>
> [mm]\bruch{\bruch{a_n}{2}+\bruch{2}{a_n}}{\bruch{a_{n-1}}{2}+\bruch{2}{a_{n-1}}}=\bruch{\bruch{a^2_n+4}{2a_n}}{\bruch{a^2_{n-1}+4}{2a_{n-1}}}=\bruch{a_n^2+4}{2a_n}*\bruch{2a_{n-1}}{a_{n-1}^2+4}[/mm]
>
> jetzt hänge ich fest.
Ja, ich frage mich auch gerade, wieso Du [mm] $a_{n}$ [/mm] nochmal mit [mm] $a_{n-1}$ [/mm] umschreibst. Irgendwie wird das unnötig unübersichtlich und kompliziert.
> Kann mich jemand entklemmen?
Ja:
[mm] $$(\star)\;\;\;\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\frac{a_n}{2}+\frac{2}{a_n}}{a_n}=\frac{a_n^2+4}{2a_n^2} =\frac{1}{2}+\frac{2}{a_n^2}\,.$$
[/mm]
Dass [mm] $\frac{a_2}{a_1} \le [/mm] 1$ ist, hast Du eh schon nachgerechnet.
Mit der Rechnung von iks erkennst Du dann zudem [mm] $a_n [/mm] > 2$ für alle $n [mm] \ge 2\,.$
[/mm]
[mm] $(\star_2)$ [/mm] Für $n [mm] \ge [/mm] 2$ gilt also (beachte auch [mm] $a_n [/mm] > 0$ für alle $n$):
[mm] $a_n^2 \ge 2^2=4\,.$
[/mm]
Werfe nun nochmal einen Blick in [mm] $(\star)$ [/mm] und überlege Dir, wie man [mm] $(\star_2)$ [/mm] in [mm] $(\star)$ [/mm] einbauen kann, so dass [mm] $\frac{a_{n+1}}{a_n} \le [/mm] 1$ für alle $n [mm] \ge 2\,$ [/mm] folgt. (Beachte, dass Du eh schon [mm] $\frac{a_2}{a_1} \le [/mm] 1$ nachgerechnet hast und Du somit insgesamt erhältst, dass [mm] $(a_n)_n$ [/mm] monoton fällt.)
P.S.:
Es hätte hier auch gereicht, zu sagen:
[mm] $(a_n)_n$ [/mm] ist durch $0$ nach unten beschränkt. Aber die Abschätzung von iks (also, dass [mm] $a_n \ge [/mm] 2$ für alle $n$ (bzw. alle $n [mm] \ge [/mm] 2$)) ist natürlich hilfreich bei der Monotonie und liefert auch noch eine "bessere" untere Schranke.
P.P.S.:
Falls Du auch [mm] $\lim_{n \to \infty}a_n=:\lim a_n$ [/mm] bestimmen sollst:
Weil [mm] $(a_n)_n$ [/mm] nun als konvergent erkannt wurde, existiert [mm] $\lim a_n=:a \in \IR\,.$ [/mm] Zudem ist auch [mm] $a=\lim_{n \to \infty} a_{n+1}\,.$ [/mm] Damit solltest Du dann weiterkommen.
(Mit Rechenregeln für konvergente Folgen gelangt man unter Beachtung des obigen Hinweises dann zu der Gleichung [mm] $a=\frac{a}{2}+\frac{2}{a}\,,$ [/mm] welche äquivalent zu einer quadratischen Gleichung in der Variablen [mm] $\black{a}$ [/mm] ist, die aber zwei Lösungen in [mm] $\IR$ [/mm] hat. Warum kommt aber nur eine Lösung dieser in Frage (bzw. welche kommt in Frage und welche nicht))?
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:39 Do 13.11.2008 | | Autor: | stefan00 |
Hi Marcel,
> das verstehe ich nicht. Es ist doch
> [mm]a_2=\frac{3}{2}+\frac{2}{3}=\frac{3*3+2*2}{6}=\frac{13}{6}\,.[/mm]
> Du meintest sicherlich [mm]\frac{a_2}{a_1}=\frac{13}{18} \le 1\,.[/mm]
ja, genau, das war ein Schreibfehler, das meinte ich.
>
> > Induktionsschritt:
> >
> >
> [mm]\bruch{\bruch{a_n}{2}+\bruch{2}{a_n}}{\bruch{a_{n-1}}{2}+\bruch{2}{a_{n-1}}}=\bruch{\bruch{a^2_n+4}{2a_n}}{\bruch{a^2_{n-1}+4}{2a_{n-1}}}=\bruch{a_n^2+4}{2a_n}*\bruch{2a_{n-1}}{a_{n-1}^2+4}[/mm]
> >
> > jetzt hänge ich fest.
>
> Ja, ich frage mich auch gerade, wieso Du [mm]a_{n}[/mm] nochmal mit
> [mm]a_{n-1}[/mm] umschreibst. Irgendwie wird das unnötig
> unübersichtlich und kompliziert.
ich dachte, weil die Folge ja auf Vorgängerfolgegliedern aufbaut, also [mm] a_2 [/mm] bspw. auf [mm] a_1, [/mm] usw. also [mm] a_n [/mm] immer auf [mm] a_{n-1} [/mm] oder [mm] a_{n+1} [/mm] auf [mm] a_n. [/mm] Ich hätte nicht gedacht, dass man in der Induktion dann einfach das [mm] a_n [/mm] einsetzen kann, ich dachte, man müsste immer die "Formel" der Folge einsetzen, also immer [mm] \bruch{a_n}{2}+\bruch{2}{a_n}.
[/mm]
Den Rest muss ich mir noch anschauen.
Vielen Dank, das ist sehr hilfreich.
Gruß, Stefan.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:26 Do 13.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hi,
> Hi Marcel,
>
> > das verstehe ich nicht. Es ist doch
> >
> [mm]a_2=\frac{3}{2}+\frac{2}{3}=\frac{3*3+2*2}{6}=\frac{13}{6}\,.[/mm]
> > Du meintest sicherlich [mm]\frac{a_2}{a_1}=\frac{13}{18} \le 1\,.[/mm]
> ja, genau, das war ein Schreibfehler, das meinte ich.
Ah okay 
> >
> > > Induktionsschritt:
> > >
> > >
> >
> [mm]\bruch{\bruch{a_n}{2}+\bruch{2}{a_n}}{\bruch{a_{n-1}}{2}+\bruch{2}{a_{n-1}}}=\bruch{\bruch{a^2_n+4}{2a_n}}{\bruch{a^2_{n-1}+4}{2a_{n-1}}}=\bruch{a_n^2+4}{2a_n}*\bruch{2a_{n-1}}{a_{n-1}^2+4}[/mm]
> > >
> > > jetzt hänge ich fest.
> >
> > Ja, ich frage mich auch gerade, wieso Du [mm]a_{n}[/mm] nochmal mit
> > [mm]a_{n-1}[/mm] umschreibst. Irgendwie wird das unnötig
> > unübersichtlich und kompliziert.
> ich dachte, weil die Folge ja auf Vorgängerfolgegliedern
> aufbaut, also [mm]a_2[/mm] bspw. auf [mm]a_1,[/mm] usw. also [mm]a_n[/mm] immer auf
> [mm]a_{n-1}[/mm] oder [mm]a_{n+1}[/mm] auf [mm]a_n.[/mm] Ich hätte nicht gedacht, dass
> man in der Induktion dann einfach das [mm]a_n[/mm] einsetzen kann,
> ich dachte, man müsste immer die "Formel" der Folge
> einsetzen, also immer [mm]\bruch{a_n}{2}+\bruch{2}{a_n}.[/mm]
Sagen wir es mal so: Sollte allein das umschreiben von [mm] $a_{n+1}$ [/mm] mit [mm] $a_n$ [/mm] nicht helfen, dann wäre das zumindest eine weitere Option. Ich glaube, wenn man bei den Begriff des Fixpunktsatzes angelangt, dann macht man so etwas ähnliches. Das müsste ich mir aber jetzt gerade nochmal selbst aufschreiben oder raussuchen.
> Den Rest muss ich mir noch anschauen.
>
> Vielen Dank, das ist sehr hilfreich.
Okay, notfalls meldest Du Dich einfach nochmal
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:34 Fr 14.11.2008 | | Autor: | stefan00 |
Hallo Marcel,
> (Mit Rechenregeln für konvergente Folgen gelangt man unter
> Beachtung des obigen Hinweises dann zu der Gleichung
> [mm]a=\frac{a}{2}+\frac{2}{a}\,,[/mm] welche äquivalent zu einer
> quadratischen Gleichung in der Variablen [mm]\black{a}[/mm] ist, die
> aber zwei Lösungen in [mm]\IR[/mm] hat. Warum kommt aber nur eine
> Lösung dieser in Frage (bzw. welche kommt in Frage und
> welche nicht))?
Wie sind denn die Rechenregeln für konvergente Folgen genau? Ich kann ja [mm] a=\bruch{2}{a}+\bruch{a}{2} [/mm] ja nicht so ohne weiteres lösen, also nach a umformen, oder? Jedenfalls hätte ich dann sowas:
[mm] a=\bruch{2}{a}+\bruch{a}{2} \gdw a=\bruch{a^2+4}{2a} \gdw a=\bruch{1}{2}+\bruch{2}{a} \gdw a-\bruch{1}{2}=\bruch{2}{a^2} \gdw a^2(a-\bruch{1}{2})=2...
[/mm]
und nun?
Danke für die Hilfe, Gruß, Stefan.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:54 Fr 14.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Marcel,
> > (Mit Rechenregeln für konvergente Folgen gelangt man
> unter
> > Beachtung des obigen Hinweises dann zu der Gleichung
> > [mm]a=\frac{a}{2}+\frac{2}{a}\,,[/mm] welche äquivalent zu einer
> > quadratischen Gleichung in der Variablen [mm]\black{a}[/mm] ist, die
> > aber zwei Lösungen in [mm]\IR[/mm] hat. Warum kommt aber nur eine
> > Lösung dieser in Frage (bzw. welche kommt in Frage und
> > welche nicht))?
> Wie sind denn die Rechenregeln für konvergente Folgen
> genau? Ich kann ja [mm]a=\bruch{2}{a}+\bruch{a}{2}[/mm] ja nicht so
> ohne weiteres lösen, also nach a umformen, oder? Jedenfalls
> hätte ich dann sowas:
> [mm]a=\bruch{2}{a}+\bruch{a}{2} \gdw a=\bruch{a^2+4}{2a} \gdw a=\bruch{1}{2}+\bruch{2}{a} \gdw a-\bruch{1}{2}=\bruch{2}{a^2} \gdw a^2(a-\bruch{1}{2})=2...[/mm]
Du weißt doch folgendes: [mm] $c_n\not=0$ [/mm] für alle $n$ und [mm] $c_n \to [/mm] c$ mit $c [mm] \not=0$ [/mm] liefert [mm] $\frac{1}{c_n} \to \frac{1}{c}\,.$
[/mm]
Weiter:
$r [mm] \in \IR$ [/mm] und [mm] $d_n \to [/mm] d$ liefert [mm] $r*d_n \to r*d\,.$ [/mm]
[mm] $g_n \to [/mm] g$ liefert auch [mm] $g_{n+1} \to g\,.$
[/mm]
Hier heißt das nun:
[mm] $a_{n+1} \to a\,.$ [/mm] Weiter war [mm] $a_n [/mm] > 2$ für alle [mm] $n\,.$ [/mm] Erkannt haben wir schon, dass [mm] $(a_n)_n$ [/mm] gegen ein $a$ konvergiert, und wegen [mm] $a_n [/mm] > 2$ für alle $n$ muss dann sicherlich $a [mm] \ge [/mm] 2$ gelten (Warum?).
Also gilt (ich rechne es mal richtig weiter):
$$a [mm] \leftarrow a_{n+1}=\underbrace{\frac{a_n}{2}}_{\to \frac{1}{2}*a}+\underbrace{\frac{2}{a_n}}_{\to 2*\frac{1}{a}}$$
$$\Rightarrow a=\bruch{a}{2}+\bruch{2}{a} \gdw a=\bruch{a^2+4}{2a} \gdw \blue{2a^2=a^2+4 \gdw a^2=4 \gdw a^2-4=0 \gdw (a+2)(a-2)=0}\,.$$
So, jetzt bist Du dran: Wieso kommt nur $a=2$ in Frage?
Gruß,
Marcel
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:15 Fr 14.11.2008 | | Autor: | stefan00 |
Hallo Marcel,
> Du weißt doch folgendes: [mm]c_n\not=0[/mm] für alle [mm]n[/mm] und [mm]c_n \to c[/mm]
> mit [mm]c \not=0[/mm] liefert [mm]\frac{1}{c_n} \to \frac{1}{c}\,.[/mm]
>
> Weiter:
> [mm]r \in \IR[/mm] und [mm]d_n \to d[/mm] liefert [mm]r*d_n \to r*d\,.[/mm]
> [mm]g_n \to g[/mm] liefert auch [mm]g_{n+1} \to g\,.[/mm]
ja, natürlich, die Rechenregeln waren mir entfallen, peinlich, aber ich kenne sie natürlich ;)
> Hier heißt das nun:
> [mm]a_{n+1} \to a\,.[/mm] Weiter war [mm]a_n > 2[/mm] für alle [mm]n\,.[/mm] Erkannt
> haben wir schon, dass [mm](a_n)_n[/mm] gegen ein [mm]a[/mm] konvergiert, und
> wegen [mm]a_n > 2[/mm] für alle [mm]n[/mm] muss dann sicherlich [mm]a \ge 2[/mm]
> gelten (Warum?).
das ist das, was iks in seiner Berechnung ja gezeigt hat.
> Also gilt (ich rechne es mal richtig weiter):
ja, ich hab noch nicht mal richtig gerechnet :(
> [mm]\Rightarrow a=\bruch{a}{2}+\bruch{2}{a} \gdw a=\bruch{a^2+4}{2a} \gdw \blue{2a^2=a^2+4 \gdw a^2=4 \gdw a^2-4=0 \gdw (a+2)(a-2)=0}\,.[/mm]
aber ich kanns nachvollziehen, ist klar.
> So, jetzt bist Du dran: Wieso kommt nur [mm]a=2[/mm] in Frage?
siehe oben, denn es ist ja a [mm] \ge [/mm] 2.
Vielen Dank, Gruß, Stefan.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:32 Fr 14.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
eine Kleinigkeit:
> > Weiter war [mm]a_n > 2[/mm] für alle [mm]n\,.[/mm]
> Erkannt
> > haben wir schon, dass [mm](a_n)_n[/mm] gegen ein [mm]a[/mm] konvergiert, und
> > wegen [mm]a_n > 2[/mm] für alle [mm]n[/mm] muss dann sicherlich [mm]a \ge 2[/mm]
> > gelten (Warum?).
> das ist das, was iks in seiner Berechnung ja gezeigt hat.
nein, iks hat in seiner Rechnung [mm] $a_n [/mm] > 2$ für alle $n [mm] \in \IN\,,$ [/mm] $n [mm] \ge [/mm] 2$ gezeigt. Mir geht es hier um folgendes:
Wenn [mm] $(r_n)_n$ [/mm] eine (gegen $r$) konvergente Folge ist mit [mm] $r_n [/mm] > C$ für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] (mit einem $C [mm] \in \IR$), [/mm] dann gilt auch $r [mm] \ge C\,.$ [/mm] Das ist eine fast banale Überlegung, die man nichtsdestotrotz berücksichtigen sollte.
> > Also gilt (ich rechne es mal richtig weiter):
> ja, ich hab noch nicht mal richtig gerechnet :(
>
> > [mm]\Rightarrow a=\bruch{a}{2}+\bruch{2}{a} \gdw a=\bruch{a^2+4}{2a} \gdw \blue{2a^2=a^2+4 \gdw a^2=4 \gdw a^2-4=0 \gdw (a+2)(a-2)=0}\,.[/mm]
>
> aber ich kanns nachvollziehen, ist klar.
>
> > So, jetzt bist Du dran: Wieso kommt nur [mm]a=2[/mm] in Frage?
> siehe oben, denn es ist ja a [mm]\ge[/mm] 2.
Genau
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:20 Di 25.11.2008 | | Autor: | stefan00 |
Hallo Marcel,
> Also gilt (ich rechne es mal richtig weiter):
>
> [mm]a \leftarrow a_{n+1}=\underbrace{\frac{a_n}{2}}_{\to \frac{1}{2}*a}+\underbrace{\frac{2}{a_n}}_{\to 2*\frac{1}{a}}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow a=\bruch{a}{2}+\bruch{2}{a} \gdw a=\bruch{a^2+4}{2a} \gdw \blue{2a^2=a^2+4 \gdw a^2=4 \gdw a^2-4=0 \gdw (a+2)(a-2)=0}\,.[/mm]
wieso kann ich hier einfach für [mm] a_n [/mm] a setzen? Ich muss doch mit allgemeinem [mm] a_n [/mm] weiterrechnen und nicht für alles einfach a annehmen. a ist ja mein Grenzwert, [mm] a_n [/mm] ist die Folge, ich kann diese beiden Sachverhalte doch nicht gleichsetzen, und wenn ja, warum?
Vielen Dank nochmals für die Hilfe.
Gruß, Stefan.
|
|
|
| |
|
> Hallo Marcel,
>
> > Also gilt (ich rechne es mal richtig weiter):
> >
> > [mm]a \leftarrow a_{n+1}=\underbrace{\frac{a_n}{2}}_{\to \frac{1}{2}*a}+\underbrace{\frac{2}{a_n}}_{\to 2*\frac{1}{a}}[/mm]
>
> >
> > [mm]\Rightarrow a=\bruch{a}{2}+\bruch{2}{a} \gdw a=\bruch{a^2+4}{2a} \gdw \blue{2a^2=a^2+4 \gdw a^2=4 \gdw a^2-4=0 \gdw (a+2)(a-2)=0}\,.[/mm]
>
> wieso kann ich hier einfach für [mm]a_n[/mm] a setzen? Ich muss doch
> mit allgemeinem [mm]a_n[/mm] weiterrechnen und nicht für alles
> einfach a annehmen. a ist ja mein Grenzwert, [mm]a_n[/mm] ist die
> Folge, ich kann diese beiden Sachverhalte doch nicht
> gleichsetzen, und wenn ja, warum?
Hallo,
ich nehme mal an, daß zuvor die Konvergenz der Reihe [mm] (a_n) [/mm] gezeigt wurde.
Wenn sie konvergiert, hat sie einen grenzwert, welchen man a nennen kann, also [mm] a:=\limes_{n\rightarrow\infty}a_n.
[/mm]
jetzt nimmt man sich die Rekursionsvorschrift $ [mm] a_{n+1} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{a_n}{2} [/mm] $ + $ [mm] \bruch{2}{a_n} [/mm] $ .
Wenn ich rechts und links den GW gegen [mm] \infty [/mm] berechne, muß ja dasselbe herauskommen.
Also $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n+1} [/mm] $ = [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}( \bruch{a_n}{2} [/mm] $ + $ [mm] \bruch{2}{a_n} [/mm] )$ ,
und damit landest Du bei dem, was oben steht.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:59 Di 25.11.2008 | | Autor: | stefan00 |
Hallo Angela,
> ich nehme mal an, daß zuvor die Konvergenz der Reihe [mm](a_n)[/mm]
> gezeigt wurde.
was ich bisher gezeigt habe, ist die Beschränktheit (untere Schranke 2) und Monotonie, aber Konvergenz nicht.
Meine Idee war auch mal zwischendurch, ein Infimum zu zeigen, dann habe ich ja auch den Grenzwert, also [mm] x
Und wie gehe ich jetzt vor?
Vielen Dank,
Gruß, Stefan.
|
|
|
| |
|
> Hallo Angela,
>
> > ich nehme mal an, daß zuvor die Konvergenz der Reihe [mm](a_n)[/mm]
> > gezeigt wurde.
> was ich bisher gezeigt habe, ist die Beschränktheit
> (untere Schranke 2) und Monotonie, aber Konvergenz nicht.
Hallo,
ach???
Was weiß man denn über Folgen, die beschränkt und monoton sind? (Schau in Deinen Unterlagen nach. Das ist wirklich sehr, sehr wichtig.)
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:31 Di 25.11.2008 | | Autor: | stefan00 |
Hallo,
> Was weiß man denn über Folgen, die beschränkt und monoton
> sind? (Schau in Deinen Unterlagen nach. Das ist wirklich
> sehr, sehr wichtig.)
ok, wenn sie beschränkt sind und monoton, dann sind sie konvergent, ja klar, oh mann, das ist ja schon peinlich, also habe ich die Konvergenz gezeigt, oder?
Danke, Gruß, Stefan.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:46 Di 25.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Stefan!
> ok, wenn sie beschränkt sind und monoton, dann sind sie
> konvergent, ja klar, oh mann, das ist ja schon peinlich,
> also habe ich die Konvergenz gezeigt, oder?
Richtig.
Gruß
Loddar
|
|
|
|
