Grenzwert einer Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Berechnen sie [mm][mm] \limes_{n \to \infty} \bruch{1}{n} [/mm] * [mm] \wurzel[n]{n!}. [/mm] |
Hallo Zusammen,
betrachtet man die Grenzwert der Faktoren ergibt sich null mal unendlich und darüber kann man ja keine Aussage treffen. Wie geht man also an so eine Aufgabe heran? Vielen Dank für jegliche Hilfe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:06 Do 21.05.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Nice!
Bringe den Bruch mit unter die Wurzel. Betrachte anschließend den Ausdruck [mm] $\bruch{n!}{n^n}$ [/mm] .
Ist dieser Ausdruck eventuell beschränkt?
Gruß
Loddar
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Hi Loddar,
in einem Buch hab ich gefunden, dass [mm]n^n[/mm] langsamer gegen unendlich wächst als n!. Da wir das in der Vorlesung nicht bewiesen haben, hab ich das durch Induktion gezeigt. Der gesuchte Grenzwert müsste doch dann null sein, oder?
Sorry, ich hatte die Aufgabenüberschrift falsch gewählt. Gesucht ist nur der Grenzwert des Terms, nicht der Folge. Bei einer Folge würde ich aber doch zeigen, dass der Ausdruck monoton fällt und nach unten durch null beschränkt ist oder?
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Hallo Nice,
ja, so kannst du das für die Folge machen - wobei mir der Unterschied beim Ausrechnen des Grenzwerts des Terms (was auch immer das bedeutet) und des Grenzwerts der Folge nicht ganz klar ist.
Ist aber egal:
1. Alle Folgeglieder (alle Terme) liegen zwischen 0 und 1, somit ist die Folge beschränkt.
2. Der Quotient [mm] \bruch{a_{n+1}}{a_n} [/mm] ist kleiner als 1, also ist die Folge monoton fallend.
3. Jetzt müsste man noch zeigen, dass 0 die größte untere Schranke ist. Ich könnte ja auch sagen, dass die Folge nach unten durch -10 beschränkt ist, aber daraus kann ich nicht direkt folgern, dass diese -10 ihr Grenzwert ist.
So in etwa könnte der Gedankengang funktionieren.
Gruß,
weightgainer
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