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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:29 So 12.12.2010 | | Autor: | gentle |
| Aufgabe | Es sei [mm] n\in\IN\sub, [/mm] L > 1 und [mm] \varphi [/mm] > 0, sodass L = 1 + [mm] \varphi.
[/mm]
A) Beweisen Sie, dass [mm] L_n [/mm] = (1 + [mm] \varphi)^n \ge \bruch{n*(n −1)}{2}*\varphi^2 [/mm] gilt, und zeigen Sie damit [mm] \limes_{n \to \infty}\bruch{n}{L^n} [/mm] = 0
B) Folgern Sie aus A), dass für [mm] k\in\IN\sub [/mm] und für M > 1 gilt:
[mm] \limes_{n \to \infty}\bruch{n^k}{M^n} [/mm] = 0
Hinweis: L := [mm] M^\bruch{1}{k} [/mm] |
Hi Leute,
kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen?
Ich hab irgendwie keinen Ansatz wie ich anfangen soll.
Grüße
Hinweis: n1 soll n-1 heißen
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo gentle, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
die Aufgabe ist echt "tricky".
> Es sei [mm]n\in\IN\sub,[/mm] L > 1 und [mm]\varphi[/mm] > 0, sodass L = 1 +
> [mm]\varphi.[/mm]
> A) Beweisen Sie, dass [mm]L_n[/mm] = (1 + [mm]\varphi)^n \ge \bruch{n*(n-1)}{2}*\varphi^2[/mm]
> gilt, und zeigen Sie damit [mm]\limes_{n \to \infty}\bruch{n}{L^n}[/mm]
> = 0
Sollte das nicht [mm] L^n [/mm] statt [mm] L_n [/mm] heißen? Ist aber eigentlich egal.
> B) Folgern Sie aus A), dass für [mm]k\in\IN\sub[/mm] und für M > 1
> gilt:
> [mm]\limes_{n \to \infty}\bruch{n^k}{M^n}[/mm] = 0
> Hinweis: L := [mm]M^\bruch{1}{k}[/mm]
> Hi Leute,
>
> kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen?
> Ich hab irgendwie keinen Ansatz wie ich anfangen soll.
>
> Grüße
>
> Hinweis: n1 soll n-1 heißen
Dann schreib doch n-1. Geht im Formeleditor genauso, einfach ein Minuszeichen (oder Bindestrich), aber kein komisches Sonderzeichen wie Geviertstrich etc. Ich habs oben mal korrigiert.
Erstmal Aufgabenteil A; B ist dann auch nicht mehr so schwierig.
Das Problem ist ja, die Ungleichung zu zeigen. Ein paar Versuche in einer Tabellenkalkulation lassen keinen Zweifel aufkommen, dass sie stimmt, nur gelingt es nicht so leicht, sie zu zeigen. Aber es gibt einen Ausweg...
1. Versuch: Bernoulische Ungleichung [mm] (1+\varphi)^n\ge 1+n\varphi [/mm] funktioniert hier leider nicht. Ärgerlich.
2. Versuch: Induktion. Funktioniert auch nicht. Im Induktionsschritt müsste man zeigen können:
[mm] \bruch{n(n-1)}{2}\varphi^2(1+\varphi)\ge \bruch{n(n+1)}{2}\varphi^2
[/mm]
Das ist aber nicht immer wahr. Ein wenig Umformung führt zu der Bedingung
[mm] n\ge 1+\bruch{2}{\varphi}
[/mm]
Obwohl damit die behauptete Ungleichung also nicht zu zeigen ist, genügt aber dieser Induktionsbeweis für die Betrachtung des in der Aufgabe zu zeigenden Grenzwerts.
Allerdings muss man den Induktionsanfang bei einem geeigneten [mm] n_0 [/mm] neu machen, keine kleine Schwierigkeit, aber lösbar.
Ich nehme an, so ungefähr hast Du es auch probiert.
***
Dabei ist die Ungleichung über den binomischen Lehrsatz leicht zu zeigen. Auf der rechten Seite steht ja nichts anderes als [mm] \vektor{n\\2}\varphi^2. [/mm] Dieser Term kommt für [mm] n\ge{2} [/mm] in der binomischen Entwicklung von [mm] (1+\varphi)^n [/mm] immer vor, dazu noch weitere, die alle positiv sind.
Für n=1 muss man es separat zeigen, aber das fällt ja nicht schwer.
Alles klar?
Viel Erfolg!
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:02 Mo 13.12.2010 | | Autor: | gentle |
Hi,
danke für deine Antwort.
Das mit dem Binomischen Satz ist mir nun klar. Aber zwei Sachen versteh ich immer noch nicht.
Für 1 krieg ich nicht das richtige raus und wie kann ich dann zeigen dass der Grenzwert von n/L = 0 ist...
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Hallo gentle,
> danke für deine Antwort.
Gern doch. Das ist ja Sinn dieses Forums. 
> Das mit dem Binomischen Satz ist mir nun klar. Aber zwei
> Sachen versteh ich immer noch nicht.
> Für 1 krieg ich nicht das richtige raus
Für n=1, nehme ich an, denn für [mm] \varphi=1 [/mm] ergibt sich ja kein spezifisches Problem.
Für n=1 gilt doch, einfach nur eingesetzt:
[mm] (1+\varphi)^1=1+\varphi\ge \bruch{1(1-0)}{2}\varphi^2=0\varphi^2=0
[/mm]
Da [mm] \varphi>0 [/mm] ist, ist diese Kette wahr.
> und wie kann ich
> dann zeigen dass der Grenzwert von n/L = 0 ist...
Für n>1 ist [mm] \bruch{n}{L^n}\blue{\le}\bruch{n}{\bruch{n(n-1)}{2}\varphi^2}=\bruch{2}{\varphi^2}*\bruch{1}{n-1}
[/mm]
Das blaue [mm] \blue{\le} [/mm] folgt aus der gezeigten Abschätzung. Der Rest ist Umformung. Am Ende lässt sich der Grenzwert leicht bilden, denn [mm] \tfrac{2}{\varphi^2} [/mm] ist ja nur eine feste endliche Größe, in diesem Fall sogar als positiv zu identifizieren, aber das ist ja egal.
Grüße
reverend
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