Grenzwert einer Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:29 Fr 23.09.2011 | | Autor: | hilbert |
Es geht um folgenden Grenzwert:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n!}{n^n}.
[/mm]
Klar ist mir, dass da 0 rauskommt.
Meine Lösung ist nun folgende:
[mm] \bruch{n!}{n^n}. [/mm] = [mm] \bruch{(n-1)!}{n^{n-1}}.
[/mm]
Und wenn ich jetzt die Brüche aufsplitte ist der Zähler jeweils immer kleiner als der Nenner und für sehr großes geht jeder Bruch gegen 0. Also auch das Produkt aller Brüche.
Leider war ich mit dieser Lösung nicht zufrieden habe aber keine bessere gefunden. Vom Übungsleiter gab es volle Punktzahl.
Aber in der Vorlesung hieß es, dass dieses Vorgehen nicht gültig sei, da wir unendlich viele Faktoren betrachten.
Kann mir da jemand weiterhelfen?
Mich würde interessieren ob es einen schöneren Weg gibt oder wieso dieser Weg denn falsch/richtig ist.
Vielen Dank im Voraus
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Hallo hilbert,
wenn Du die ![[]](/images/popup.gif) Stirlingformel verwenden darfst, bist Du schnell fertig.
Schöner ist natürlich eine andere Vorgehensweise.
Du kannst z.B. die Folge [mm] a_k=\bruch{k!}{k^k} [/mm] definieren, und sie auf ihre Konvergenz untersuchen.
Es konvergiert sogar die Reihe [mm] \summe_{k=1}^{\infty}a_k, [/mm] was z.B. mit dem Wurzelkriterium zu zeigen ist, aber auch mit dem Quotientenkriterium, denn es gilt: [mm] \bruch{a_{k+1}}{a_k}\le\bruch{1}{2} [/mm] (editiert und korrigiert)
Letzteres ist m.E. mit vollständiger Induktion zu zeigen.
Ich lasse die Frage halboffen, weil ich auf den Rest (Gültigkeit der Vorgehensweise) jetzt nicht mehr eingehen kann; es ist spät... 
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:03 Fr 23.09.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo Fred,
> > mit dem Quotientenkriterium, denn es gilt:
> > [mm]\bruch{a_k}{a_k+1}\le\bruch{1}{2}[/mm]
>
> Hallo reverend,
>
> diese Ungleichung ist nicht richtig !!
Natürlich nicht.
Ich korrigiere den Originalpost. Es war wohl doch zu spät...
Danke für Kontrolle und Hinweis.
Grüße
rev
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:55 Fr 23.09.2011 | | Autor: | fred97 |
1. Der Satz, dass das Produkt konvergenter Folgen gegen, das Produkt der Grenzwerte der Faktoren konvergiert, ist nur richtig, wenn die Anzahl der Faktoren konstant ist (also nicht von n abhängt)
2. Ich greife den Vorschlag von reverend auf: sei [mm] a_n:= \bruch{n!}{n^n}
[/mm]
Zeige: [mm] $\bruch{a_{n+1}}{a_n} \to [/mm] 1/e<1$ (n [mm] \to \infty)
[/mm]
Nach dem QK. konvergiert [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_n
[/mm]
Dann ist [mm] (a_n) [/mm] eine ????
FRED
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