Grenzwert einer Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Bestimme den Grenzwert der Folge [mm] (1+1/(n^3))^n [/mm] |
Ich weiß, dass [mm] (1+1/n)^n [/mm] gegen e konvergiert. Hier komme ich allerdings nicht weiter. Ich sehe, dass es gegen x mit 1<x<e konvergiert... aber wie errechne ich den genauen Grenzwert?
Vielen Dank!
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Hallo melkstand2004,
> Bestimme den Grenzwert der Folge [mm](1+1/(n^3))^n[/mm]
> Ich weiß, dass [mm](1+1/n)^n[/mm] gegen e konvergiert. Hier komme
> ich allerdings nicht weiter. Ich sehe, dass es gegen x mit
> 1<x<e konvergiert...="" aber="" wie="" errechne="" ich="" den="" genauen="" <br="">> Grenzwert?
Der Grenzwert ist [mm]x=1[/mm]
Du könntest das Sandwichlemma (Einschließungslemma) benutzen und die gegebene Folge zwischen zwei Folgen [mm]a_n[/mm] und [mm]b_n[/mm] einquetschen, die offensichtlich für [mm]n\to\infty[/mm] gegen 1 konvergieren (bzw. von denen man dies sehr leicht zeigen kann).
Alternativ kannst du wegen [mm]1+1/n>0[/mm] deine Folge schreiben als [mm](1+1/n)^n=e^{\ln\left([1+1/n]^n\right)}=e^{n\cdot{}\ln(1+1/n)}[/mm] und die Stetigkeit der Exponentialfunktion ausnutzen.
> Vielen Dank!
Gruß
schachuzipus
</x<e>
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Danke! Ja daran habe ich auch gerade gedacht. Ich habe jetzt nach unten abgeschätzt mit [mm] (1+1/n^3)^n \ge 1+n*1/n^3 [/mm] und dies konvergiert auf jeden Fall.
Nach oben abschätzen ist jetzt meine Idee, dass 1+1/n auf jeden Fall größer wäre. Das müsste ich mit einer Induktion zeigen.
Glaubst du so könnte es gehen? Oder ist das viel zu umständlich?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:38 Mi 08.02.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
nein, nach oben musst du auch mit was abschätzen, das gegen 1 konergiert, sonst hast du je kein Sandwich, in dem die 1 als Salamischeibe liegt!
Gruss leduart
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Die Grenzwerte sind doch 1?!
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Hallo nochmal,
> Die Grenzwerte sind doch 1?!
Du hast doch lediglich eine untere Sandwichhälfte angegeben, die gegen 1 konvergiert (übrigens ist die konstante Folge [mm] $(a_n)_n\in\IN$ [/mm] mit [mm] $a_n=1$ [/mm] eine triviale untere Schranke)
Damit weißt du aber nur, dass deine gegebene Folge (wenn sie denn konvergiert) nicht einen GW kleiner als 1 haben kann.
Es fehlt noch die obere Brötchenhälfte, die auch gegen 1 konvergieren sollte.
Dann erst kannst du sicher sein, dass deine "Salamifolge" auch konvergiert, und dann auch gegen 1
Gruß
schachuzipus
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genau und deswegen war meine idee mit 1+1/n nach oben abzuschätzen. Da ich aber nicht weiß, ob 1+1/n wirklich größer ist, war meine idee dies mit Induktion zu beweisen. Oder gibt es hierfür auch eine einfachere Lösungsmöglichkeit?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:28 Mi 08.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> genau und deswegen war meine idee mit 1+1/n nach oben
> abzuschätzen. Da ich aber nicht weiß, ob 1+1/n wirklich
> größer ist, war meine idee dies mit Induktion zu
> beweisen. Oder gibt es hierfür auch eine einfachere
> Lösungsmöglichkeit?
dass [mm] $(1+1/n^3)^n \ge [/mm] 1$ ist, ist offensichtlich (Du hast es mit Bernoulli gefolgert, aber das war viel zu umständlich, denn strenggenommen geht das dann so:
Mit Bernoulli sagt man:
Für jedes $x > [mm] -1\,$ [/mm] ist [mm] $(1+x)^n \ge 1+n*x\,,$ [/mm] und da darf man insbesondere für jedes [mm] $n\,$ [/mm] auch [mm] $x=1/n^3$ [/mm] einsetzen.)
Das ist deswegen offensichtlich, weil [mm] $r^n \ge [/mm] 1$ sowieso für jede Zahl $r [mm] \ge [/mm] 1$ gilt (mit $n [mm] \in \IN=\IN \setminus \{0\}$ [/mm] beliebig).
Also ist nur noch [mm] $(1+1/n^3)^n$ [/mm] geeignet nach oben abzuschätzen. Das kann man versuchen, aber man kann auch mal was anderes machen:
Schreibe obige Folge um zu
[mm] $$\left(1+\frac{1}{n^3}\right)^{n^3/n^2}=\sqrt[n^2]{(1+1/n^3)^{n^3}}\,.$$
[/mm]
Das "Ding unter der Wurzel" konvergiert gegen [mm] $e\,$ [/mm] (da steht eine Teilfolge von [mm] $((1+1/k)^k)_{k \in \IN}$) [/mm] wird also insbesondere für genügend große [mm] $n\,$ [/mm] stets zwischen 2 und 3 liegen.
Und [mm] $\sqrt[n]{r} \to [/mm] 1$ für festes $r > [mm] 0\,$ [/mm] sollte bekannt sein - damit kann man sich überlegen, was nun [mm] $\sqrt[n^2]{r}=\sqrt[n]{\sqrt[n]{r}}$ [/mm] bei $n [mm] \to\infty$ [/mm] macht.
P.S.:
Alternativ kannst Du auch erstmal überlegen, wie das ganze bei
[mm] $$(1+1/n^2)^n$$
[/mm]
aussieht (hier brauchst Du dann irgendwann "nur [mm] $\sqrt[n]{r} \to [/mm] 1$"), und nutzt dann eine Beziehung zwischen [mm] $(1+1/n^2)^n$ [/mm] und [mm] $(1+1/n^3)^n$ [/mm] aus:
Offensichtlich ist
[mm] $$(1+1/n^2)^n \ge (1+1/n^3)^n\,.$$
[/mm]
Warum ist das offensichtlich?
Gruß,
Marcel
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Super!! Vielen, vielen Dank für die Ideen!!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:05 Mi 08.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> genau und deswegen war meine idee mit 1+1/n nach oben
> abzuschätzen. Da ich aber nicht weiß, ob 1+1/n wirklich
> größer ist, war meine idee dies mit Induktion zu
> beweisen. Oder gibt es hierfür auch eine einfachere
> Lösungsmöglichkeit?
manchmal kann schon ein Plot hilfreich sein, um wenigstens die Idee zu überprüfen:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Deine Idee könnte also klappen. (Interessant ist der Vergleich ja nur für genügend große [mm] $x\,,$ [/mm] oben wären das die $x [mm] \ge [/mm] 1$ (wobei uns eigentlich davon auch nur die $x [mm] \in \IN$ [/mm] interessieren).)
Alternativ:
Du kannst auch mal versuchen, mit der Funktion
[mm] $$f(x)=1+\frac{1}{x}-\left(1+\frac{1}{x^3}\right)^{1/x}$$
[/mm]
zu argumentieren (wieder für $x [mm] \ge [/mm] 1$).
Ob bei Euch nun ein Induktionsbeweis besser ist, oder ob man "mit Differentialmethoden/Stetigkeitsargumenten/Monotonie von Funktionen" argumentiert bzw. argumentieren darf, hängt stark davon ab, was ihr in Eurer Vorlesung behandelt habt bzw. was der Prof./Korrektor erlaubt (manche sagen ja: Alles, was man mal in der Schule (richtig) gelernt hat, darf man jetzt auch verweneden)!
Gruß,
Marcel
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:48 Mi 08.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Schachuzipus,
> Hallo melkstand2004,
>
>
> > Bestimme den Grenzwert der Folge [mm](1+1/(n^3))^n[/mm]
> > Ich weiß, dass [mm](1+1/n)^n[/mm] gegen e konvergiert. Hier
> komme
> > ich allerdings nicht weiter. Ich sehe, dass es gegen x mit
> > 1<x<e konvergiert...="" aber="" wie="" errechne="" ich=""
> den="" genauen="" <br="">> Grenzwert?
>
> Der Grenzwert ist [mm]x=1[/mm]
>
> Du könntest das Sandwichlemma (Einschließungslemma)
> benutzen und die gegebene Folge zwischen zwei Folgen [mm]a_n[/mm]
> und [mm]b_n[/mm] einquetschen, die offensichtlich für [mm]n\to\infty[/mm]
> gegen 1 konvergieren (bzw. von denen man dies sehr leicht
> zeigen kann).
>
> Alternativ kannst du wegen [mm]1+1/n>0[/mm] deine Folge schreiben
> als
> [mm](1+1/n)^n=e^{\ln\left([1+1/n]^n\right)}=e^{n\cdot{}\ln(1+1/n)}[/mm]
> und die Stetigkeit der Exponentialfunktion ausnutzen.
wogegen konvergiert denn Deines Erachtens [mm] $n*\ln(1+1/n)$? [/mm] Das ist gar nicht so klar:
$$x [mm] \mapsto x*\ln(1+1/x)=\frac{\ln(1+1/x)}{1/x}$$
[/mm]
konvergiert bei $x [mm] \to \infty$ [/mm] nach de l'Hospital gegen
[mm] $$(\star)\;\;\;\lim_{x \to \infty}\frac{\frac{x}{x+1}*\frac{-1}{x^2}}{-1/x^2}=1\,.$$
[/mm]
Aber dass [mm] $e^1=e=\lim_{n \to \infty}(1+1/n)^n$ [/mm] ist, ist ja eh klar. Oben wolltest Du sicher
[mm] $$(1+1/n^3)^n=e^{n*\ln(1+1/n^3)}$$
[/mm]
schreiben. Dann wäre aber zu überlegen, wogegen
[mm] $$n*\ln(1+1/n^3)$$
[/mm]
bei $n [mm] \to \infty$ [/mm] strebt (das hat dann die Form [mm] $\infty*0$ [/mm] wie bei [mm] $(\star)\,,$ [/mm] nur dass wahrscheinlich hier [mm] $=0\,$ [/mm] rauskommt, "weil der zweite Faktor schneller gegen [mm] $0\,$ [/mm] strebt als in [mm] $(\star)$").
[/mm]
Auch hier wäre de l'Hospital eine Anwendung.
P.S.:
Natürlich kann man hier evtl. auch mit Potenzreihenentwicklungen des [mm] $\ln(\cdot)$ [/mm] (oder [mm] $\ln(1+\cdot)$) [/mm] bzw. der Potenzreihenentwicklung der [mm] $e\,$-Funktion [/mm] arbeiten - nehme ich jedenfalls stark an!
Worauf ich nur aufmerksam machen wollte:
$$n [mm] \ln(1+1/n) \to [/mm] 1$$
oder
$$n [mm] \ln(1+1/n^3) \to [/mm] 0$$
muss man definitiv jeweils noch beweisen - ganz offensichtlich sind diese Grenzwerte nicht (da man jeweils die Form [mm] $\infty*0$ [/mm] beim Grenzübergang $n [mm] \to \infty$ [/mm] hat)!
Gruß,
Marcel
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Hallo Marcel,
jo, da habe ich mich schön vertippt, ich meinte nat., dass
[mm]\lim\limits_{n\to\infty}n\cdot{}\ln\left(1+1/n^{\red{3}}\right)[/mm] zu untersuchen ist.
Hier dachte ich mir (da wir den leidigen Fall [mm]\infty\cdot{}0[/mm] haben) an die Subst. [mm]m:=1/n[/mm]
Damit ist zu betrachten [mm]\lim\limits_{m\to 0}\frac{\ln\left(1+m^3\right)}{m}[/mm] (Fall 0/0), was mit de l'Hôpital doch schnell erledigt sein sollte ...
Danke fürs Aufpassen!
Gruß
schachuzipus
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