Grenzwert einer Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}=(31^n (n+1)^2 [/mm] / 2^5n)
Also für den Grenzwert habe ich erstmal die Reihen in zwei Produkte zerlegt:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}=31^n [/mm] / [mm] 32^n [/mm] = 1/(1-(31/32)) -1=31
wenn ich aber jetzt den Grenzwert der zweiten Reihe
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}=(n+1)^2 [/mm] mir anschaue, stell ich fest dass es keinen gibt :)
Geht das überhaupt was ich da mache?
Ist Grenzwert1 mal Grenzwert2 gleich der gesuchte Grenzwert?
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:58 Di 21.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}=(31^n (n+1)^2[/mm] / 2^5n)
da sollte wohl
[mm] $$\sum_{n=1}^\infty \frac{31^n (n+1)^2}{2^{5n}}$$
[/mm]
stehen. Das ist aber eine Reihe (okay, auch eine Folge, nämlich die Folge ihrer Teilsummen) - also hättest Du besser auch eine passende(re) Überschrift gewählt!
> Also für den Grenzwert habe ich erstmal die Reihen in zwei
> Produkte zerlegt:
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}=31^n[/mm] / [mm]32^n[/mm] = 1/(1-(31/32)) -1=31
> wenn ich aber jetzt den Grenzwert der zweiten Reihe
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}=(n+1)^2[/mm] mir anschaue, stell ich fest
> dass es keinen gibt :)
> Geht das überhaupt was ich da mache?
> Ist Grenzwert1 mal Grenzwert2 gleich der gesuchte
> Grenzwert?
> Vielen Dank!
Mit Sicherheit nicht. Kennst Du denn nicht das Cauchyprodukt? Dann wüßtest Du, wie so ein Produkt zweier Reihen aussieht (wenn eine konvergiert und die andere etwa absolut konvergiert) - und was sollte das hier mit der Aufgabe zu tun haben?
Aber die erste Frage, die sich mir stellt:
Sollst Du wirklich explizit den Grenzwert der Reihe
[mm] $$\sum_{n \ge 1} \frac{31^n(n+1)^2}{32^n}$$
[/mm]
berechnen, oder nur diese Reihe auf Konvergenz untersuchen? Denn dass sie konvergiert, sieht man schnell ein - etwa mit dem Wurzelkriterium. (Dazu muss man sich klarmachen, dass [mm] $\sqrt[n]{(n+1)^2} \to 1\,.$)
[/mm]
P.S.:
Es gelten aber (analog zu Folgen) Sätze wie:
Falls [mm] $\sum a_n$ [/mm] und [mm] $\sum b_n$ [/mm] beide (in [mm] $\IR$ [/mm] oder [mm] $\IC$) [/mm] konvergieren, so auch [mm] $\sum (a_n+b_n)$ [/mm] und es gilt dann
[mm] $$\sum (a_n+b_n)=(\sum a_n)+(\sum b_n)\,.$$
[/mm]
Du darsft dann aber nicht etwa
[mm] $$0=\sum 0=\sum (1+(-1))=(\sum 1)+(\sum [/mm] -1)$$
folgern - denn hier konvergiert schon [mm] $\sum [/mm] 1$ nicht (in [mm] $\IR$ [/mm] oder [mm] $\IC$).
[/mm]
Damit könntest Du oben schreiben
[mm] $$\sum_{n \ge 1} \frac{31^n}{32^n}(n+1)^2=(\sum_{n \ge 1} n^2\left(\frac{31}{32}\right)^n)+(\sum_{n \ge 1} 2n\left(\frac{31}{32}\right)^n)+(\sum_{n \ge 1} \left(\frac{31}{32}\right)^n)\,.$$
[/mm]
Immerhin bei der letzten Reihe rechterhand kann man den Wert der Reihe schonmal hinschreiben!
Gruß,
Marcel
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Danke für deine Antwort aber leider hilft sie mir nicht bei der Lösung der Aufgabe!
Das ist eine Aufgabe von einer alten Klausur.
Berechnen Sie ohne Benutzung eines Taschenrechners den exakten Grenzwert der folgenden Reihe: siehe oben
Das die Reihe konvergiert ist mir schon bewusst. Auch wie ich die Konvergenz nachweise bereitet mir hier keine Probleme aber den Grenzwert zu bestimmen, das krieg ich nicht hin.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:51 Mi 22.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Danke für deine Antwort aber leider hilft sie mir nicht
> bei der Lösung der Aufgabe!
>
> Das ist eine Aufgabe von einer alten Klausur.
>
> Berechnen Sie ohne Benutzung eines Taschenrechners den
> exakten Grenzwert der folgenden Reihe: siehe oben
>
> Das die Reihe konvergiert ist mir schon bewusst. Auch wie
> ich die Konvergenz nachweise bereitet mir hier keine
> Probleme aber den Grenzwert zu bestimmen, das krieg ich
> nicht hin.
"direkt" sehe ich das gerade auch nicht, aber wenn wir uns nochmal (unter Beachtung, dass alle auftauchenden Reihen konvergieren) die Gleichung
$$ [mm] \sum_{n \ge 1} \frac{31^n}{32^n}(n+1)^2=(\sum_{n \ge 1} n^2\left(\frac{31}{32}\right)^n)+(\sum_{n \ge 1} 2n\left(\frac{31}{32}\right)^n)+(\sum_{n \ge 1} \left(\frac{31}{32}\right)^n)$$
[/mm]
angucken, so kann man dies auch schreiben als
$$ [mm] \sum_{n \ge 1} \frac{31^n}{32^n}(n+1)^2=\frac{31}{32}(\sum_{n \ge 1} n^2\left(\frac{31}{32}\right)^{n-1})+(\sum_{n \ge 1} 2n\left(\frac{31}{32}\right)^n)+(\sum_{n \ge 1} \left(\frac{31}{32}\right)^n)$$
[/mm]
bzw.
$$ [mm] \sum_{n \ge 1} \frac{31^n}{32^n}(n+1)^2=\frac{31}{32}(\sum_{n \ge 0} (n+1)^2\left(\frac{31}{32}\right)^{n})+(\sum_{n \ge 1} 2n\left(\frac{31}{32}\right)^n)+(\sum_{n \ge 1} \left(\frac{31}{32}\right)^n)\,.$$
[/mm]
Setzt Du nun [mm] $S\,$ [/mm] als den gesuchten Reihenwert, so siehst Du so schonmal
[mm] $$S=\frac{31}{32}(S+1)+(\sum_{n \ge 1} 2n\left(\frac{31}{32}\right)^n)+(\sum_{n \ge 1} \left(\frac{31}{32}\right)^n)\,.$$
[/mm]
Nur für [mm] $(\sum_{n \ge 1} 2n\left(\frac{31}{32}\right)^n)$ [/mm] müssten wir uns dann was einfallen lassen. Aber vielleicht hast Du da ja eine Idee?
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:17 Mi 22.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
mit der folgenden Überlegung kann man auch den anderen Weg noch vervollständigen, den ich eben gepostet hatte.
Gesucht war der Reihenwert
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}(31^n (n+1)^2[/mm] / 2^5n)
Betrachte [mm] $f(x):=1/(1-x)\,$ [/mm] auf [mm] $(0,1)\,.$ [/mm] Dort gilt
[mm] $$f(x)=\sum_{n=0}^\infty x^n\,.$$
[/mm]
Nun kannst Du $f'$ und $f''$ sicher für [mm] $f(x):=1/(1-x)\,$ [/mm] ($0 < x < [mm] 1\,$) [/mm] direkt berechnen (Quotientenregel!), andererseits darf man Potenzreihen innerhalb ihres Konvergenzkreises "gliedweise differenzieren", also auf $0 < x < [mm] 1\,$ [/mm] gilt
[mm] $$f'(x)=\sum_{n=1}^\infty nx^{n-1}$$
[/mm]
und (weil alle auftretenden Reihen auf $0 < x < [mm] 1\,$ [/mm] konvergieren)
[mm] $$f''(x)=\sum_{n=2}^\infty n(n-1)x^{n-2}=\sum_{n=2}^\infty n^2 x^{n-2}-\sum_{\ell=0}^\infty (\ell+2) x^\ell=\frac{1}{x}\sum_{n=1}^\infty (n+1)^2 x^{n}-\sum_{\ell=0}^\infty \ell x^\ell-\frac{2}{1-x}\,.$$
[/mm]
Um [mm] $\sum \ell x^\ell$ [/mm] zu berechnen, arbeite mit [mm] $f'\,,$ [/mm] unter Beachtung von
[mm] $$\sum_{\ell \ge 0} \ell x^\ell=x\sum_{k \ge 1} [/mm] k [mm] x^{k-1}\,.$$
[/mm]
Damit hast Du nun zwei Möglichkeiten, [mm] $f''(31/32)\,$ [/mm] zu berechnen - und damit kannst Du dann Deinen gesuchten Reihenwert berechnen!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Mi 22.02.2012 | | Autor: | physikalis |
Weiß zwar noch nicht ob ich es jetzt hin bekomme aber trotzdem Dankeschön!
Ich versuch es später einmal.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:50 Mi 22.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
zur Kontrolle schreibe ich Dir nachher mal meine Lösung hin!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:09 Mi 22.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo,
hier mal das Ergebnis des angedeuteten Lösungsweges:
Wir setzen
$$S(x):=\sum_{n=1}^\infty (n+1)^2 x^n\,.$$
Laut Aufgabe ist $S(31/32)\,$ gesucht.
1. Mit $f(x)=1/(1-x)\,$ ($x \not=1$) gilt $f'(x)=1/(1-x)^2$ und $f''(x)=2/(1-x)^3\,.$
2. Durch Ableiten von $f\,$ "in Potenzreihenform" (für $|x| < 1\,$) erhält man nach einigen Umformungen
$$\blue{f''(x)=1+S(x)+\frac{1}{(1-x)^2}}\,.$$
Aus 1. kann man dann $f''(31/32)\,$ berechnen: Sei $a:=f''(31/32)\,.$ Dies kann man, wegen $|31/32| < 1\,,$ auch mittels 2. tun, also muss
$$a=\left.1+S(x)+\frac{1}{(1-x)^2}}\right|_{x=31/32}$$
bzw.
$$a=1+S(31/32)+\frac{1}{(1\;-31/32)^2}}$$
gelten. Dies ist nach $S(31/32)\,$ aufzulösen!
P.S.:
Ohne Garantie auf Rechenfehler meinerseits - ich habe das Ergebnis noch nicht kontrolliert!
Kontrolliert und korrigiert: Es sollte sich $S(31/32)=64511\,$ ergeben (das habe ich mit Matlab approximativ kontrolliert!)
P.P.S.:
So sieht man auch
$$\sum_{n=\red{0}}^\infty (n+1)^2x^n=\frac{2}{(1-x)^3}-\frac{1}{(1-x)^2}$$
für alle $|x| < 1\,.$
Analog könnte man sich dann auch ein Verfahren zur Berechnung von
$$\sum_{n=0}^\infty n^p x^n$$
für $p \in \IN$ fest und $|x| < 1\,$ überlegen.
Gruß,
Marcel
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