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| Aufgabe | Bestimmen Sie den Grenzwert der Folge:
[mm] an=\wurzel{n(n+4018)}-n
[/mm]
n=1,2,3,.... |
Durch probieren habe ich herausgefunden, dass diese Folge gegen 4018/2 konvergiert, jedoch kann ich mir da keinen reim draus machen.
In einer wurzel kann ich doch einzelne Faktoren ausklammern, ?!
Also ist die folge
[mm] =\wurzel{n}*\wurzel{n+4018}-n
[/mm]
da n gegen unendlich geht, machen ja konstanten, wie 4018 keinen Unterschied in einer Summe, demzufolge kann ich sie weglassen
also
[mm] =\wurzel{n}*\wurzel{n}-n
[/mm]
=n-n
=0
so, das ist natürlich falsch. an welcher stelle ist mein Denkfehler?
Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:10 Mo 23.04.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo Fabian!
Ein gängiger Trick be derartigen Wurzeltermen ist das Erweitern zu eine 3. binomischen Formel.
Das bedeutet hier konkret: erweitere den Term mit [mm]\left( \ \wurzel{n*(n+4018)} \ \red{+} \ n \ \right)[/mm] und fasse zusammen.
Gruß
Loddar
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also multipliziere ich deinen genannten term im zähler und nenner dazu?
nach dem ausmultiplizieren und kürzen habe ich nun folgendes dastehen:
[mm] \bruch{4018}{\bruch{\wurzel{n(n+4018)}}{n}+1}.
[/mm]
das 4018 fällt weg, ein n kürzt sich mit der wurzel, n/n kürzt sich zu 1,
übrig bleibt 4018/2, das stimmt :)
Dankeschön
Aber jetzt frage ich mich wieso es bei mir vorhin nicht funktionierte.
Offensitlich kann ich ja in einer summe die 4018 einfach wegstreichen, mit den beiden n die wurzel kürzen geht auch. Dann bleibt doch n-n übrig aber wieso kommt da 0 raus?
Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:41 Mo 23.04.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo Fabian!
> nach dem ausmultiplizieren und kürzen habe ich nun folgendes dastehen:
> [mm]\bruch{4018}{\bruch{\wurzel{n(n+4018)}}{n}+1}.[/mm]
![[aeh]](/images/smileys/aeh.gif "[aeh]") Wie kommst Du darauf? Wie kommt das $n_$ in den Nenner des Doppelbruches?
> Aber jetzt frage ich mich wieso es bei mir vorhin nicht funktionierte.
Weil Du bei einem unbestimmten Ausdruck der Form [mm] $\infty-\infty$ [/mm] nicht auf den Grenzwert schließen kannst.
Gruß
Loddar
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ausgangsterm ist:
[mm] \wurzel{n(n+4018)}-n
[/mm]
multipliziert und dividiert mit [mm] \wurzel{n(n+4018)}+n
[/mm]
[mm] =\bruch{(\wurzel{n(n+4018)}-n)(\wurzel{n(n+4018)}+n)}{\wurzel{n(n+4018)}+n}
[/mm]
im zähler ausmultipliziert bleibt übrig:
[mm] \bruch{n(n+4018)-n}{\wurzel{n(n+4018)}+n}
[/mm]
anschließend im nenner und zähler das n ausgeklammert und gekürzt:
...ok...hier hab ich mist gemacht :) Ich hab das "n+" vor 4018 übersehen
verdammt -.-
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:26 Mo 23.04.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo Fabian!
Bedenke, dass es im Zähler nach dem Ausmultiplizieren [mm] $...-n^{\red{2}}$ [/mm] lauten muss.
Gruß
Loddar
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