Grenzwert einer Funktion < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | [mm] f'(x)=-\frac{4x}{\sqrt{1-(2x^2-1)^2}} [/mm] $
Existiert der Grenzwert lim von h-> 0 von f'(0+h)?
Existiert der Grenzwert lim von h-> 0 von f'(0-h)?
Was folgt hieraus für die Differenzierbarkeit der Funktion f an der Stelle x=0? |
Ich habe jetzt den lim von h-> 0 gebildet und für x inder funktionsgleichung h eingesetzt.
Da h doch aber gegen 0 läuft wird doch der ganze term 0 und am Ende habe ich 0/0 da stehen und dass ist ein undefinierter Ausdruck... Dass muss doch anders gehn?
Wäre super, wenn mir jemand weiterhelfen könnte.. =)
MachineHead
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hi, MachineHead,
> [mm]f'(x)=-\frac{4x}{\sqrt{1-(2x^2-1)^2}}[/mm] $
> Existiert der Grenzwert lim von h-> 0 von f'(0+h)?
> Existiert der Grenzwert lim von h-> 0 von f'(0-h)?
> Was folgt hieraus für die Differenzierbarkeit der
> Funktion f an der Stelle x=0?
> Ich habe jetzt den lim von h-> 0 gebildet und für x inder
> funktionsgleichung h eingesetzt.
> Da h doch aber gegen 0 läuft wird doch der ganze term 0 und
> am Ende habe ich 0/0 da stehen und dass ist ein
> undefinierter Ausdruck... Dass muss doch anders gehn?
> Wäre super, wenn mir jemand weiterhelfen könnte.. =)
Das ist doch die Ableitung aus dem Funktionsterm von grade eben, stimmt's?
Du musst den obigen Ableitungsterm aber - wie ich Dir's in der Aufgabe vorher gesagt habe - noch vereinfachen, vor allem kürzen.
Ich geb' Dir mal ein paar Schritte an (ein paar überlass' ich auch Dir!):
f'(x)= [mm] -\frac{4x}{\sqrt{1-(2x^2-1)^2}} [/mm] = ...
= [mm] -\frac{4x}{\sqrt{4x^{2}*(1-x^2)}}
[/mm]
= [mm] -\frac{4x}{2*|x|*\sqrt{(1-x^2)}}
[/mm]
Durch 2 kannst Du sofort kürzen,
aber die Betragstriche im Nenner kriegst Du halt nur weg, wenn Du den Funktionsterm für x>0 und für x<0 getrennt betrachtest.
Nachdem Du dann gekürzt hast, sind die verlangten Grenzwerte sehr schnell gefunden:
von links: +2; von rechts: -2.
Die beiden Grenzwerte existieren also,
stimmen aber nicht überein, weshalb die Funktion bei x=0 NICHT db. ist.
mfG!
Zwerglein
|
|
|
| |
|
Vielen vielen dank nochmals an dich =)=), ja genau dass ist die ableitung von eben.
Habe die fehlenden Schritte noch ergänzt bekommen (hätte ich auch früher drauf kommen können ^^)...
Der Grenzwert für f'(0+h) ist auch gebildet, -2kommt raus, ich frage mich jetzt nur warum beim grenzwert für f' (0-h) 2 rauskommt, bei mir kommt da wieder -2 raus.. Ist es nicht egal ob man 0-h oder 0+h rechnet, weil h doch sowieso gegen 0 geht?
wo liegt da mein denkfehler?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:06 Mo 11.08.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
nun, ab und zu ist es mal nicht egal, ob man sich von links oder von rechts der Null nähert. So wie hier auch.
Wenn du dir die Funktion [mm] $\sqrt{x^2}$ [/mm] anguckst, dann könnte man sagen: Hm, das ist wohl x. Das stimmt aber nicht, denn es ist $|x|$. Das liegt daran, weil die Wurzel immer nur "positive" Werte rausgibt. Setzen wir zB für x -2 ein, dann steht da ja [mm] $\sqrt{(-2)^2}=2$ [/mm] Würde man jetzt sagen, dass das obige gleich x wäre, stünde da ja -2, und das wäre falsch.
Wenn du dir das jetzt anguckst, dann kann man den Betrag ja aufteilen:
[mm] $|x|=\begin{cases} -x, & \mbox{für } x<0 \\ x, & \mbox{für } x\ge0 \end{cases}$
[/mm]
Und wenn du dich jetzt von rechts der Null näherst, ist ja [mm] $x\ge0$, [/mm] also hast du dann +x im Nenner stehen.
Näherst du dich der Null von links, so gilt ja auf deinem "Anschleichweg" $x<0$, also musst du dann für das x -x einstezen.
Wenn du das machst, kommst du auf 2 und auf -2 als Grenzwerte.
Hier noch ein Bild der Funktion:
[Dateianhang nicht öffentlich]
LG
Kroni
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpeg) [nicht öffentlich]
|
|
|
|
