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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:11 Mi 24.06.2009 | | Autor: | ChopSuey |
| Aufgabe | | $\ [mm] \limes_{x\rightarrow8} \bruch{x-8}{\wurzel[3]{x}-2} [/mm] $ |
Hallo,
Der Grenzwert dieser Funktion ist $\ 12 $. Ich weiss allerdings nicht, wie auf die Lösung zu kommen ist.
Ich bin mir nicht so ganz sicher, ob mein Ansatz mit $\ x = 8+h $ korrekt ist.
Demnäch wäre das Ganze $\ [mm] \limes_{x\rightarrow8} \bruch{8+h-8}{\wurzel[3]{8+h}-2} [/mm] $ aber stimmt das denn so auch? Schon beim Versuch die Nennerfunktion irgendwie umzuformen gerat ich in einen riesen Zahlensalat.
Weiss nicht so ganz, wie damit umzugehen ist.
Würde mich über Hilfe freuen.
Grüße
ChopSuey
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> [mm]\ \limes_{x\rightarrow8} \bruch{x-8}{\wurzel[3]{x}-2}[/mm]
>
> Hallo,
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> Der Grenzwert dieser Funktion ist [mm]\ 12 [/mm]. Ich weiss
> allerdings nicht, wie auf die Lösung zu kommen ist.
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> Ich bin mir nicht so ganz sicher, ob mein Ansatz mit [mm]\ x = 8+h[/mm]
> korrekt ist.
>
> Demnäch wäre das Ganze [mm]\ \limes_{x\rightarrow8} \bruch{8+h-8}{\wurzel[3]{8+h}-2}[/mm]
> aber stimmt das denn so auch? Schon beim Versuch die
> Nennerfunktion irgendwie umzuformen gerat ich in einen
> riesen Zahlensalat.
>
> Weiss nicht so ganz, wie damit umzugehen ist.
Guten Abend ChopSuey,
Tipp:
Mache die Substitution [mm] u:=\wurzel[3]{x}
[/mm]
An die Stelle von [mm] \limes_{x\rightarrow8} [/mm] tritt dann [mm] \limes_{u\rightarrow\wurzel[3]{8}}
[/mm]
Den entstehenden Term mit u kann man mittels
Polynomdivision vereinfachen.
(warum ich dies weiß? es gibt eine Formel
für [mm] a^3-b^3 [/mm] im Umkreis der binomischen Formeln)
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 06:15 Do 25.06.2009 | | Autor: | ChopSuey |
> Guten Abend ChopSuey,
Guten Morgen mittlerweile auch ,
>
> Tipp:
>
> Mache die Substitution [mm]u:=\wurzel[3]{x}[/mm]
>
> An die Stelle von [mm]\limes_{x\rightarrow8}[/mm] tritt dann
> [mm]\limes_{u\rightarrow\wurzel[3]{8}}[/mm]
Ich hab das mal versucht und mein Ansatz war folgender:
$\ u = [mm] \wurzel[3]{x} [/mm] \ [mm] \gdw u^3 [/mm] = x $
$ \ [mm] \limes_{u\rightarrow\wurzel[3]{8}} \bruch{u^3-8}{u-2} [/mm] = [mm] \limes_{u\rightarrow\wurzel[3]{8}} \bruch{u^3-2^3}{u-2} [/mm] = [mm] \limes_{u\rightarrow\wurzel[3]{8}} \bruch{(u-2)(u^2+2u+2^2)}{u-2} [/mm] $
Hier weiss ich nun nicht mehr weiter. Darf/soll ich hier kürzen? Oder soll ich hier die Rücksubstitution machen und für $\ u = [mm] (\wurzel[3]{8}+h) [/mm] $ einsetzen?
>
> Den entstehenden Term mit u kann man mittels
> Polynomdivision vereinfachen.
>
> (warum ich dies weiß? es gibt eine Formel
> für [mm]a^3-b^3[/mm] im Umkreis der binomischen Formeln)
>
>
> LG Al-Chw.
>
Grüße,
ChopSuey
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Du darfst nicht kürzen, du musst kürzen - das war nämlich das eigentliche Ziel der Substitution:
> > Tipp:
> >
> > Mache die Substitution [mm]u:=\wurzel[3]{x}[/mm]
> >
> > An die Stelle von [mm]\limes_{x\rightarrow8}[/mm] tritt dann
> > [mm]\limes_{u\rightarrow\wurzel[3]{8}}[/mm]
>
> Ich hab das mal versucht und mein Ansatz war folgender:
>
> [mm]\ u = \wurzel[3]{x} \ \gdw u^3 = x[/mm]
[Teil ergänzt]
> [mm] \ \limes_{x\rightarrow8} \bruch{x-8}{\wurzel[3]{x}-2} = \limes_{u\rightarrow\wurzel[3]{8}} \bruch{u^3-8}{u-2} = \limes_{u\rightarrow\wurzel[3]{8}} \bruch{u^3-2^3}{u-2} = \limes_{u\rightarrow\wurzel[3]{8}} \bruch{(u-2)(u^2+2u+2^2)}{u-2}[/mm]
>
> Hier weiss ich nun nicht mehr weiter. Darf/soll ich hier
> kürzen? Oder soll ich hier die Rücksubstitution machen und
> für [mm]\ u = (\wurzel[3]{8}+h)[/mm] einsetzen?
>
Nicht nur, dass du kürzen darfst/sollst/musst, du brauchst nicht mal mehr rücksubstituieren, weil du den ersten Grenzwert ausrechnen willst und überall in deiner Umformung "=" steht.
Jetzt besteht die Zauberei nach dem Kürzen nur noch darin, die [mm] \wurzel[3]{8} [/mm] oder wie ich sagen würde, die 2 in den übrig bleibenden Term einzusetzen.
[Allgemeiner Hinweis: Bei einer solchen Grenzwertberechnung ist es die Regel, dass man die Zahl, gegen die x laufen soll nicht einsetzen darf, weil das im Nenner zu einer 0 führt. Die Umformungen, die man dann vornimmt dienen häufig dem Zweck, genau den Faktor aus dem Nenner rauszukürzen, der beim Einsetzen 0 ergibt. Hier in deinem Fall gibt es nur einen Faktor im Nenner, es könnte aber ja durchaus statt (u-2) auch [mm](u-2)*(2u+3)[/mm] stehen und nach dem Kürzen des ersten Faktors könntest du dann die 2 in den Gesamt-Term einsetzen.]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:09 Do 25.06.2009 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo weightgainer,
vielen Dank für die Hilfe! Jetzt hab' ich es raus und auch die Lösung, die im Buch steht, erhalten.
Grüße,
ChopSuey
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> > Tipp:
> >
> > Mache die Substitution [mm]u:=\wurzel[3]{x}[/mm]
> >
> > An die Stelle von [mm]\limes_{x\rightarrow8}[/mm] tritt dann
> > [mm]\limes_{u\rightarrow\wurzel[3]{8}}[/mm]
>
> Ich hab das mal versucht und mein Ansatz war folgender:
>
> [mm]\ u = \wurzel[3]{x} \ \gdw u^3 = x[/mm]
>
> [mm]\ \limes_{u\rightarrow\wurzel[3]{8}} \bruch{u^3-8}{u-2} = \limes_{u\rightarrow\wurzel[3]{8}} \bruch{u^3-2^3}{u-2} = \limes_{u\rightarrow\wurzel[3]{8}} \bruch{(u-2)(u^2+2u+2^2)}{u-2}[/mm]
>
> Hier weiss ich nun nicht mehr weiter. Darf/soll ich hier
> kürzen? Oder soll ich hier die Rücksubstitution machen und
> für [mm]\ u = (\wurzel[3]{8}+h)[/mm] einsetzen?
..... bitte untertänigst um Entschuldigung,
dass ich in meiner ersten Antwort nicht auf
die interessante Beziehung [mm] $\green{\wurzel[3]{8}=2}$ [/mm] hingewie-
sen habe .....  Al
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:26 Do 25.06.2009 | | Autor: | ChopSuey |
Ich hoffe, ich habe hier nicht den Eindruck erweckt, als wäre mir die Beziehung unbekannt - bzw. als hätte ich sie nicht erkannt :-D
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