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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:15 Sa 19.12.2009 | | Autor: | Sajuri |
| Aufgabe | Zeigen:
[mm] \lim_{n \to \infty } \frac{\sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{k} }{ln(n)} [/mm] = 1 |
Hallo,
wie zeigt man, dass es gilt. Es ist klar, dass Zähler und Nenner gehen beide gegen unendlich, wenn n gegen unendlich geht. Deswegen können wir L'Hospital anwenden. Und nach der Anwendung bekomme ich:
[mm] \lim_{n \to \infty } \frac{-\frac{1}{n^{2} } }{\frac{1}{n} } [/mm] = [mm] \lim_{n \to \infty } -\frac{1}{n}= [/mm] 0.
Wo ist mein Denkfehler?
Danke im Voraus für eure Hilfe
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Hallo Sajuri,
da steht doch eine Reihe im Zähler, also eine Summe von n Termen. Deine Rechnung würde nur stimmen, wenn [mm] \summe_{k=1}^n \bruch{1}{k}=\bruch{1}{n} [/mm] wäre. Das ist aber nicht der Fall, Du unterschlägst damit ja die ersten (n-1) Glieder. Dann übrigens dürftest (und bräuchtest) Du auch den l'Hospital gar nicht anwenden, weil Dein Bruchgrenzwert ja sozusagen gegen [mm] \bruch{0}{\infty} [/mm] ginge, also gegen Null.
Was weißt Du denn noch so über die harmonische Reihe, außer dass sie divergiert?
lg
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:07 Sa 19.12.2009 | | Autor: | Sajuri |
Hallo reverend,
Vielen Dank für die schnelle Antwort.
Vorher wusste ich nichts über die harmonische Reihe außer, dass diese divergiert. Jetzt habe ich im Internet nachgeforscht und entdeckt folgende Näherungsformel:
[mm] \sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{k} [/mm] = ln(n)+ [mm] \gamma, [/mm] wobei [mm] \gamma [/mm] = 0,5772156649
Jetzt kann ich abschätzen:
[mm] \frac{\sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{k} }{ln(n)} [/mm] = [mm] \frac{ln(n)+ \gamma }{ln(n)} \leq \frac{ln(n)+1}{ln(n)} [/mm] = [mm] \frac{ln(n)}{ln(n)} [/mm] + [mm] \frac{1}{ln(n)} [/mm]
und das geht gegen 1 für n gegen unendlich.
Ist es jetzt richtig? Oder kann man das auch mit anderen Argumenten zeigen?
lg,
Sajuri
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:15 Sa 19.12.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Die Idee ist okay, ich würde aber wie folgt umformen, da ist die Argumentation eifacher.
[mm] \frac{\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{k}}{\ln(n)}
[/mm]
[mm] =\frac{\ln(n)+\gamma}{\ln(n)}
[/mm]
[mm] =\frac{\ln(n)}{\ln(n)}+\bruch{\gamma}{\ln(n)}
[/mm]
[mm] =1+\bruch{\gamma}{\ln(n)}
[/mm]
[mm] \le1+\bruch{1}{\ln(n)}
[/mm]
[mm] \le\le1+\bruch{1}{n}
[/mm]
Und jetzt kannst du den Grenzwert für [mm] n\to\infty [/mm] bestimmen
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:42 Sa 19.12.2009 | | Autor: | Sajuri |
reverend und Marius,
vielen Dank für Mitdenken:).
LG,
Sajuri
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
bis hier reichts doch schon.
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
zumal der letzte Schritt nicht stimmt. [mm] \ln{n}