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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:24 So 06.02.2011 | | Autor: | sirco |
| Aufgabe | Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte (sofern diese existiere).
5.
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} 1+\bruch{1}{n}+(-1)^n [/mm] |
Hallo zusammen,
habe eine Grenzwertaufgabe bekommen, bei der ich ein wenig unsicher bin.
[mm] \bruch{1}{n} [/mm] strebt doch gegen [mm] +\infty, [/mm] also divergiert.
[mm] (-1)^n [/mm] ist eine alternierende Folge und somit kommt entweder +1 oder -1 raus.
1+ ist ja im Prinzip bei der alternierenden Folge mit berücksichtigt. Die denke ich mir mal sinngemäß weg.
Was ist denn nun mein Grenzwert, oder habe ich überhaupt einen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:32 So 06.02.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Schreib dir doch die ersten 10 Folgenglieder mal auf:
[mm] a_{1}=1+\frac{1}{1}+(-1)^1=2 [/mm]
[mm] a_{2}=1+\frac{1}{2}+(-1)^2=2\frac{1}{2} [/mm]
[mm] a_{3}=1+\frac{1}{3}+(-1)^3=\frac{1}{3} [/mm]
[mm] a_{4}=1+\frac{1}{4}+(-1)^4=2\frac{1}{4} [/mm]
[mm] a_{5}=1+\frac{1}{5}+(-1)^5=\frac{1}{5} [/mm]
[mm] a_{6}=1+\frac{1}{6}+(-1)^6=2\frac{1}{6} [/mm]
[mm] a_{7}=1+\frac{1}{7}+(-1)^7=\frac{1}{7} [/mm]
[mm] a_{8}=1+\frac{1}{8}+(-1)^8=2\frac{1}{8} [/mm]
[mm] a_{9}=1+\frac{1}{9}+(-1)^9=\frac{1}{9} [/mm]
[mm] a_{10}=1+\frac{1}{10}+(-1)^{10}=2\frac{1}{10} [/mm]
Und
[mm] a_{999}=1+\frac{1}{999}+(-1)^{99}=\frac{1}{999} [/mm]
[mm] a_{1000}=1+\frac{1}{1000}+(-1)^{1000}=2\frac{1}{1000} [/mm]
Erahnst du jetzt das Problem, was sich ergibt, wenn du den Grenzwert bestimmen musst. Was hast du denn stattdessen? Zwei sogenannte H.......punkte.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:47 So 06.02.2011 | | Autor: | sirco |
Besten Dank für die Rückmeldung.
Also bei [mm] (-1)^n [/mm] habe ich zwei Häufungspunkte und daher gibt es laut Definition keinen Grenzwert.
Da [mm] \bruch{1}{n} [/mm] gegen [mm] \infty [/mm] strebt gibt es auch hier keinen Grenzwert.
Die Lösung müßte dann wohl lauten, das für Aufgabe 5 kein Grenzwert existiert.
Habe mir eben auch mal den Graph skizziert, anhand deines Hinweises, mir mal jedes Folgeglied anzusehen. Der Graph steigt und fällt abwechselnd.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:52 So 06.02.2011 | | Autor: | M.Rex |
> Besten Dank für die Rückmeldung.
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> Also bei [mm](-1)^n[/mm] habe ich zwei Häufungspunkte und daher
> gibt es laut Definition keinen Grenzwert.
> Da [mm]\bruch{1}{n}[/mm] gegen [mm]\infty[/mm] strebt gibt es auch hier
> keinen Grenzwert.
Fast, es gilt aber [mm] \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0
[/mm]
>
> Die Lösung müßte dann wohl lauten, das für Aufgabe 5
> kein Grenzwert existiert.
Korrekt, du hast stattdessen zwei Häufungspunkte.
>
> Habe mir eben auch mal den Graph skizziert, anhand deines
> Hinweises, mir mal jedes Folgeglied anzusehen. Der Graph
> steigt und fällt abwechselnd.
Das stimmt so leider nicht, auch wenn du vielleicht das richtige meinst. Da [mm] n\in\IN, [/mm] gibt es nur einige Punkte, und da kann man so ohnne weiteres nicht von Fallen oder Steigen sprechen. Du hast einfach nur die beiden Häufungspunkte der Folge.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:00 So 06.02.2011 | | Autor: | sirco |
Stimmt ja, da hatte ich wohl einen Denkfehler: $ [mm] \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0 [/mm] $ .
Ok, klar, also habe ich im Prinzip nur zwei Häufungspunkte bei -1 und 1.
Achja, $ [mm] n\in\IN [/mm] $ , da haben "Kommazahlen" in meinem Graph natürlich nix zu suchen :)
Besten Dank für deine super Hilfe, du hast mir den Sonntag gerettet :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:10 So 06.02.2011 | | Autor: | M.Rex |
> Stimmt ja, da hatte ich wohl einen Denkfehler:
> [mm]\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0[/mm] .
Yep
>
> Ok, klar, also habe ich im Prinzip nur zwei Häufungspunkte
> bei -1 und 1.
Nein, die liegen woanders.
>
> Achja, [mm]n\in\IN[/mm] , da haben "Kommazahlen" in meinem Graph
> natürlich nix zu suchen :)
>
Bei Folgen (und n ist meistens ein Indiz, dass es um folgen geht) ist das meistens so.
> Besten Dank für deine super Hilfe, du hast mir den Sonntag
> gerettet :)
Schön zu hören. Schau aber nochmal deine Häufungspunkte an.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:21 So 06.02.2011 | | Autor: | sirco |
Hmm liegen die Häufungspunkte bei 2 und 0? Ich muss ja noch die 1 betrachten, die in der Funktion steht.
Wie würde ich eine Antwort für diese Aufgabe notieren? Gibt es eine mathematisch korrekte Schreibweise, mit der ich darstelle, das keine Grenzwerte existieren oder schreibt man das üblicherweise einfach in Textform auf?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:31 So 06.02.2011 | | Autor: | M.Rex |
> Hmm liegen die Häufungspunkte bei 2 und 0? Ich muss ja
> noch die 1 betrachten, die in der Funktion steht.
Yep.
>
> Wie würde ich eine Antwort für diese Aufgabe notieren?
> Gibt es eine mathematisch korrekte Schreibweise, mit der
> ich darstelle, das keine Grenzwerte existieren oder
> schreibt man das üblicherweise einfach in Textform auf?
Das kann man ruhig in Textform notieren. Schreibe, dass es zwei Häufungspunkte gibt, und dass es daher keinen Grenzwert geben kann.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:33 So 06.02.2011 | | Autor: | sirco |
Also nochmal, vielen herzlichen Dank.
Schwere Geburt, aber nun hab ichs zu 100% verstanden ;)
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