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Grenzwert einer Reihe: Bitte um Kontrolle/Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:02 Mo 07.12.2015
Autor: pc_doctor

Aufgabe
[mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{k^{4}}{3^k} [/mm]
n [mm] \in \IN [/mm]

Hallo,
ich habe hier das Quotientenkriterium benutzt, also
| [mm] \bruch{a_{n+1}}{a_n} [/mm] | Die Betragsstriche kann ich weglassen, da die Reihe stets positiv ist.

Also: (direkt den Doppelbruch umgeformt)

[mm] \bruch{(k+1)^{4}}{3^{k+1}} [/mm] * [mm] \bruch{3^k}{k^4} [/mm]

Jetzt kann ich kürzen:

[mm] \bruch{(k+1)^4}{3} [/mm] * [mm] \bruch{1}{k^4} [/mm]

[mm] (k+1)^4 [/mm] ausgeklammert und [mm] \bruch{1}{3} [/mm] aus dem Bruch rausgezogen

[mm] \bruch{1}{3} [/mm] * [mm] \bruch{k^4+4k^4+6k^2+4k+1}{k^4} [/mm]

k^⁴ faktorisieren und dann kürzen

[mm] \bruch{1}{3} [/mm] * [mm] \bruch{k^4(1+\bruch{4k^3}{k^4} + \bruch{6k^2}{k^4} + \bruch{4k}{k^4} + \bruch{1}{k^4})}{k^4} [/mm]

Am Ende kommt [mm] \bruch{1}{3} [/mm] raus. Wo ist der Fehler?

Vielen Dank im Voraus

        
Bezug
Grenzwert einer Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:27 Mo 07.12.2015
Autor: DieAcht

Hallo pc_doctor!


> [mm]\summe_{k=1}^{n} \bruch{k^{4}}{3^k}[/mm] n [mm]\in \IN[/mm]

Wie lautet die genaue Aufgabenstellung?

> Hallo,
> ich habe hier das Quotientenkriterium benutzt, also
> | [mm]\bruch{a_{n+1}}{a_n}[/mm] | Die Betragsstriche kann ich
> weglassen, da die Reihe stets positiv ist.
>  
> Also: (direkt den Doppelbruch umgeformt)
>  
> [mm]\bruch{(k+1)^{4}}{3^{k+1}}[/mm] * [mm]\bruch{3^k}{k^4}[/mm]
>  
> Jetzt kann ich kürzen:
>  
> [mm]\bruch{(k+1)^4}{3}[/mm] * [mm]\bruch{1}{k^4}[/mm]
>  
> [mm](k+1)^4[/mm] ausgeklammert und [mm]\bruch{1}{3}[/mm] aus dem Bruch
> rausgezogen
> [mm]\bruch{1}{3}[/mm] * [mm]\bruch{k^4+4k^4+6k^2+4k+1}{k^4}[/mm]

Tippfehler: [mm] $4k^3\$ [/mm] statt [mm] $4k^4\$. [/mm]

> k^⁴ faktorisieren und dann kürzen
>  
> [mm]\bruch{1}{3}[/mm] * [mm]\bruch{k^4(1+\bruch{4k^3}{k^4} + \bruch{6k^2}{k^4} + \bruch{4k}{k^4} + \bruch{1}{k^4})}{k^4}[/mm]
>  
> Am Ende kommt [mm]\bruch{1}{3}[/mm] raus.

Ja, das ist der Grenzwert für [mm] $k\to\infty$. [/mm]

> Wo ist der Fehler?

Es gibt keinen Fehler. Du hast gezeigt, dass die Reihe [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{k^{4}}{3^k} [/mm] konvergiert.


Gruß
DieAcht

Bezug
                
Bezug
Grenzwert einer Reihe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:29 Mo 07.12.2015
Autor: pc_doctor

Hallo Die Acht,
die Aufgabe war es, zu prüfen, ob die Reihen konvergent bzw. divergent sind.

Dann ist die Lösung falsch, denn dort steht 15. Vielen Dank für deine Kontrolle. Schönen Abend noch.

Bezug
                        
Bezug
Grenzwert einer Reihe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:40 Mo 07.12.2015
Autor: DieAcht


> die Aufgabe war es, zu prüfen, ob die Reihen konvergent
> bzw. divergent sind.

Okay.

> Dann ist die Lösung falsch, denn dort steht 15.

Das kann aber nicht Zufall sein. ;-)

1) Du hast den Titel deiner Frage mit "Grenzwert einer Reihe" bezeichnet.
2) Der Grenzwert der Reihe ist in der Tat 15.

Selbstverständlich kann man auch den Grenzwert explizit berechnen!

Dazu empfehle ich klein anzufangen:

Sei [mm] $|q|<1\$. [/mm]

1) [mm] $\sum_{k=0}^{\infty}q^k=\frac{1}{1-q}$. [/mm]

2) [mm] $\sum_{k=0}^{\infty}k*q^k=\ldots$. [/mm]

3) [mm] $\sum_{k=0}^{\infty}k^2*q^k=\ldots$. [/mm]

4) [mm] $\sum_{k=0}^{\infty}k^3*q^k=\ldots$. [/mm]

5) [mm] $\sum_{k=0}^{\infty}k^4*q^k=\ldots$. [/mm]

Bezug
                                
Bezug
Grenzwert einer Reihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:01 Mo 07.12.2015
Autor: pc_doctor

Hallo nochmal,
und was soll [mm] \bruch{1}{3} [/mm] dann sein  ?

Bezug
                                        
Bezug
Grenzwert einer Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:05 Mo 07.12.2015
Autor: DieAcht


> und was soll [mm]\bruch{1}{3}[/mm] dann sein?

Quotientenkriterium wiederholen!


Bezug
                                                
Bezug
Grenzwert einer Reihe: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 22:08 Mo 07.12.2015
Autor: pc_doctor

Achso stimmt, das habe ich vergessen.
<1 und so.

Okay, dann muss ich aber jetzt eine Bildungsvorschrift finden, um den lim dieser Reihe zu bestimmen. Mit dem Quotientenkriterium habe ich nur bewiesen, dass sie konvergiert. Okay, der Titel war zwar richtig, aber meine Rechnung unvollständig.

Könntest du mir einen Tipp für die Bildungsvorschrift geben?
Es fängt so an: [mm] \bruch{1}{3} [/mm] + [mm] \bruch{16}{9} [/mm] + [mm] \bruch{81}{27} [/mm] + [mm] \bruch{256}{81} [/mm] ..


Bezug
                                                        
Bezug
Grenzwert einer Reihe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:37 Mo 07.12.2015
Autor: DieAcht

Einen Tipp habe ich dir bereits gegeben!

Bezug
                                                                
Bezug
Grenzwert einer Reihe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:58 Mo 07.12.2015
Autor: Chris84


> Einen Tipp habe ich dir bereits gegeben!

Ich werfe nochmal das Wort "Ableitung" in den Raum ;)

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