Grenzwert einer Reihe < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:00 Mo 06.08.2007 | | Autor: | Lars_B. |
| Aufgabe | Gegeben die Folge [mm] a_n = \bruch{n+3}{n^2} [/mm]
Nach wie vielen Schritten [mm] n_0 [/mm] ist der Abstand zum Grenzwert auf den Wert [mm] \varepsilon [/mm] gesunken ?
[mm]\varepsilon = 10^{-3} [/mm]
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Moin,
wie berechnen wir hier den Grenzwert ?
Versuch:
[mm] \bruch{n+3}{n^2} = \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n}{n^2} = \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n^2} = 0[/mm]
[mm] \bruch{n+3}{n^2}-G < \varepsilon [/mm]
[mm] \bruch{n+3}{n^2} < \varepsilon [/mm]
[mm] \bruch{n}{n^2} +\bruch{3}{n^2} < \varepsilon [/mm]
[mm] n^{-1} + 3n^{-2} < \varepsilon [/mm]
[mm] \bruch{n^{-1}}{n^{-2}} < \varepsilon -3 [/mm]
[mm] n < \varepsilon -3 -> n < 0,001 -3 -> n< -2,999 [/mm]
Wenn das soweit richtig ist ^^, was folgt demnach ?
Vielen Dank
Grüße
Lars & Gabriel
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Hallo ihr 2,
es ist richtig, den Betrag [mm] $|a_n-GW|$ [/mm] abzuschätzen.
Also [mm] $\left|\frac{n+3}{n^2}-0\right|=\frac{n+3}{n^2}$
[/mm]
Soweit, so gut, zu bestimmen ist nun ein [mm] n_0, [/mm] ab dem für alle [mm] n>n_0 [/mm] gilt:
[mm] \frac{n+3}{n^2}<\frac{1}{10^3}
[/mm]
Euer Ansatz sieht ok aus, ich verstehe aber die vorletzte Umformung nicht.
Mein Vorschlag wäre folgende Abschätzung:
[mm] \frac{n+3}{n^2}<\frac{2n}{n^2} [/mm] für n>3
[mm] =\frac{2}{n}
[/mm]
Das soll nun [mm] <\frac{1}{10^3} [/mm] sein,
also [mm] \frac{2}{n}<\frac{1}{10^3}\gdw \frac{n}{2}\red{>}10^3 \gdw n>2\cdot{}10^3
[/mm]
Wählt also z.B. [mm] n_0=2\cdot{}10^3+1
[/mm]
Dann gilt die geforderte Ungleichung für alle [mm] n>n_0
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:54 Mo 06.08.2007 | | Autor: | Lars_B. |
Moin,
> Euer Ansatz sieht ok aus, ich verstehe aber die vorletzte
> Umformung nicht.
$ [mm] \bruch{n^{-1}}{n^{-2}} [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] -3 $
$ [mm] \bruch{\bruch{1}{n}}{\bruch{1}{n^2}} [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] -3 $
$ n² * [mm] \bruch{1}{n} [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] -3 $
$ n < [mm] \varepsilon [/mm] -3 $
> Mein Vorschlag wäre folgende Abschätzung:
>
> [mm]\frac{n+3}{n^2}<\frac{2n}{n^2}[/mm] für n>3
Woher nimmst Du die [mm] \frac{2n}{n^2} [/mm] ?
Und Warum n> 3 ?
Danke Grüße
Lars & Gabriel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:58 Mo 06.08.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Lars!
Schachuzipus hat hier im Zähler schlicht wie folgt abgeschätzt: $n \ > \ 3$ .
Damit erhält er: [mm] $\bruch{n+\red{3}}{n^2} [/mm] \ < \ [mm] \bruch{n+\red{n}}{n^2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2*n}{n^2} [/mm] \ = \ ...$
Gruß
Loddar
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Hi Loddar,
du hast dich aber beim Ungleichheitszeichen vertippt:
Das sollte [mm] \red{<} [/mm] sein...(der hintere Bruch ist ja vergrößert worden durch die Abschätzung)
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:56 Mo 06.08.2007 | | Autor: | Loddar |
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Ich weiß gar nicht, was Du meinst ![[pfeif]](/images/smileys/pfeif.gif "[pfeif]") ...
Danke für den Hinweis ...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:07 Mo 06.08.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Lars!
Man kann hier auch "genauer" (sprich: ohne Abschätzung) vorgehen, indem man in einen quadratischen Term umformt und dann mittels  p/q-Formel faktorisiert:
[mm] $\bruch{n+3}{n^2} [/mm] \ < \ [mm] 10^{-3}$
[/mm]
[mm] $\gdw$ [/mm] $1000*(n+3) \ < \ [mm] n^2$
[/mm]
[mm] $\gdw$ $n^2-1000*n-3000 [/mm] \ > \ 0$
[mm] $\gdw$ $\approx [/mm] \ (n-1003)*(n+3) \ > \ 0$
Und ein Produkt aus zwei Faktoren ist genau dann positiv, wenn beide Faktoren positiv oder beide Faktoren negativ sind.
Gruß
Loddar
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Ihr habt einen Fehler in der vorlezten Zeile, sollte man [mm] n^{2}-10^{3}n-3*10^{3}>0 [/mm] bekommen.
Nach meiner Berechnungen bekommt man [mm] n_{0}=1003. [/mm] Einfach [mm] n_{1} [/mm] und [mm] n_{2} [/mm] berechnen und die Ungleichung lösen.
Die andere Antwort ist meier Meinung nach nicht korrekt, weil wenn a<b und a<c kann man nichts daraus bezüglich 'b><c' schlissen:).
Grüsse kate
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