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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 09:20 Di 08.07.2008 | | Autor: | carl1990 |
| Aufgabe | Gesucht ist der Grenzwert der Reihen:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{4n^2-1}
[/mm]
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n(n+1)(n+2)} [/mm] |
Hallo,
ich habe irgendwie Schwierigkeiten bei der Bestimmung von Grenzwerten bei Reihen.
Ich hatte mir bei der ersten Gleichung gedacht, dass es mit einer Partialbruchzerlegung funktionieren könnte. Aber anscheinend habe ich den Umgang mit dieser auch noch nicht so heraus...
Ich habe eigentlich gedacht, dass:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{4n^2-1}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{(n-0.5)}-\bruch{1}{(n+0.5)}
[/mm]
[mm] =(\bruch{1}{0.5}-\bruch{1}{1.5})+(\bruch{1}{1.5}-\bruch{1}{2.5})+(\bruch{1}{2.5}-\bruch{1}{3.5})+...
[/mm]
es würde ja in diesen Fall nur 1/0.5=2 übrig bleiben,
aber der Grenzwert muss [mm] \bruch{1}{2} [/mm] sein.
Bei der zweiten Aufgabe habe ich gar keinen so richtigen Ansatz.
Kann mir jemand helfen?
Gruß Carl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:35 Di 08.07.2008 | | Autor: | hobes |
Hallo,
mit der Partialbruchzerlegung kommst du auf jeden Fall ans Ziel. Aber wohl leider nicht mit der von dir geposteten Lösung 
Stell doch mal Schritt für Schritt deine PBZ rein und kommentiere dein Vorgehen, dann finden wir die Schwachstellen.
Gruß hobes
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:09 Di 08.07.2008 | | Autor: | carl1990 |
ok...das Problem ist, ich habe wenig Übung bisher darin
also ich dachte zuerst, eine Polynomdivision ist nicht nötig da ja Zählerpolynom kleineren Grad als Nennerpolynom besitzt.
dann dachte ich, müsse man das Nenneroplynom=0 setzen, um die Polstellen zu bestimmen...
[mm] 4n^2-1=0
[/mm]
[mm] n_{1}=0.5 n_{2}=-0.5
[/mm]
[mm] \to \bruch{a_{1}}{n-0.5}+\bruch{a_{2}}{n+0.5}
[/mm]
[mm] a_{1}=\limes_{n\rightarrow\0.5}\bruch{1}{n+0.5}=1
[/mm]
[mm] a_{2}=\limes_{n\rightarrow\0.5}\bruch{1}{n-0.5}=-1
[/mm]
[mm] \to \bruch{1}{n-0.5}+\bruch{1}{n+0.5}
[/mm]
ich glaube, da hapert es auch noch beim Verständis der Vorgehendweise bei mir. Wäre wirklich nett, wenn man mir die Vorgehensweise bei einer Partialbruchzerlegung nochmal zeigen könnte.
Ich habe bisher nur ein zwei Beispiele vorher gerechnet wo auch mein Ausgangszählerpolynom einen größeren Grad hatte als das Ausgangsnennerpolynom. Da musste ich mit Polynomdivision Anfangs arbeiten und das weitere Vorgehen hatte sich komplett auf dem Ergenbnis + einschließlich seines Restes bezogen.
Bitte also nochmal eine kurze Erläuterung zur Partialbruchzerlegung :)
Danke
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Hallo carl1990,
Nullstellenbestimmung und dann Faktorisieren, ist ne gute Idee, aber du hast ja noch den Faktor 4, hier geht's relativ schnell über die 3. binomische Formel.
Es ist [mm] $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$
[/mm]
Hier also [mm] $4n^2-1=(2n+1)(2n-1)$, [/mm] was natürlich auch deine beiden berechneten NSTen [mm] $n=\pm\frac{1}{2}$ [/mm] hat
Also ist der Ansatz für die PBZ: [mm] $\frac{1}{4n^2-1}=\frac{A}{2n+1}+\frac{B}{2n-1}$
[/mm]
Dann berechne mal diese Koeffizienten $A, B$ (gleichnamig machen --> Koeffizientenvgl. ...)
Dann bekommst du nachher ne schöne Teleskopsumme für die Partialsummenfolge [mm] $S_k$, [/mm] in der sich das meiste weghebt...
Es ist ja der Reihenwert der GW der Partialsummenfolge:
[mm] $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n=\lim\limits_{k\to\infty}\sum\limits_{n=1}^ka_n=\lim\limits_{k\to\infty}S_k$
[/mm]
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:09 Di 08.07.2008 | | Autor: | carl1990 |
Recht herzlichen Dank!!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:32 Di 08.07.2008 | | Autor: | hobes |
Das wird schon...
Deine Nullstellen im Nennerpolynom sind zwar richtig, du musst es jetzt aber in seine Linearfaktoren zerlegen und dabei den Leitkoeffizient von 4 nicht vergessen. Oder du siehst durch einen scharfen Blick: Hier steht ja eigentlich die 3.Binomische Formel, also [mm] 4n^2-1=(2n-1)(2n+1)=4(n-\frac{1}{2})(n+\frac{1}{2}).
[/mm]
[mm] \frac{1}{4n^2-1}=\frac{1}{4(n-\frac{1}{2})(n+\frac{1}{2})}.
[/mm]
Wenn du den Nenner dann vollständig zerlegt hast kommt Schritt zwei:
Im Nenner der gesuchten PBZ stehen Unbekannte Faktoren: a,b
[mm] \frac{1}{4n^2-1}=\frac{1}{4} [/mm] ( [mm] \frac{a}{(n-\frac{1}{2})}+\frac{b}{(n+\frac{1}{2})} [/mm] )
Jetzt bist du wieder dran: Bringe diese Gleichung auf einen Hauptnenner, multipliziere mit ihm (er verschwindet dann) und vergleiche : Links steht: 0n+1 und Rechts ?? Wie groß müssen $a$ und $b$ gewesen sein ? Mein Tip: Sie sind sich nicht so unterschiedlich...
Gruß hobes
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:14 Di 08.07.2008 | | Autor: | carl1990 |
Ich bin bereits auf den Wert 1/2 gekommen durch eure Erklärungen :)
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