Grenzwert einer Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:08 Mo 09.02.2009 | | Autor: | mmore |
| Aufgabe | Bestimmen Sie den Grenzwert folgender Reihe:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(n+1)}{(n+2)!} [/mm] |
Hallo erstmals,
hab die sache einmal auf [mm] \bruch{1}{(n+2)*n!} [/mm] gekürzt.
und bin dann mittels partialbruchzerlegung auf das gekommen: [mm] \bruch{1}{2}*\summe_{n=0}^{\infty}(\bruch{1}{n!}-\bruch{1}{(n+2)(n-1)!}.
[/mm]
jetzt hatte ich gehofft, dass ich mittels teleskopsummentrick sich alles wegkürzt, dass tut es aber leider nicht.
bin ich komplett auf dem holzweg? und geht es anders leichter?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:16 Mo 09.02.2009 | | Autor: | mmore |
recht herzlichen dank!
2 lösungswege in so kurzer zeit und ich versteh sie sogar 
zur vollständigkeit hier meine lösung:
[mm]=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!}-2\cdot{}\sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n!}+\sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n!}[/mm]
[mm]=e-1-2*(e-1-1)+e-1-1= 1[/mm]
mfg mmore
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Hallo mmore, auch von mir ein ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Auf eine so schöne Lösung wie schachuzipus bin ich nicht gekommen. Dafür lässt sich relativ leicht eine Summenformel finden, wenn man sich anhand der ersten paar Summenglieder ansieht, was da passiert:
Hier für die ersten paar N [mm] \summe_{n=0}^{N}\bruch{n+1}{(n+2)!}
[/mm]
N=0: [mm] \bruch{1}{2!}=\bruch{1}{2}
[/mm]
N=1: [mm] \bruch{1}{2!}+\bruch{2}{3!}=\bruch{1}{2}+\bruch{2}{6}=\bruch{5}{6}
[/mm]
N=2: [mm] \bruch{1}{2!}+\bruch{2}{3!}+\bruch{3}{4!}=\bruch{5}{6}+\bruch{3}{24}=\bruch{23}{24}
[/mm]
N=3: [mm] \bruch{1}{2!}+\bruch{2}{3!}+\bruch{3}{4!}+\bruch{4}{5!}=\bruch{23}{24}+\bruch{4}{120}=\bruch{119}{120}
[/mm]
N=4: [mm] \bruch{1}{2!}+\bruch{2}{3!}+\bruch{3}{4!}+\bruch{4}{5!}+\bruch{5}{6!}=\bruch{119}{120}+\bruch{5}{720}=\bruch{719}{720}
[/mm]
Na? Ich vermute da die Summenformel [mm] \summe_{n=0}^{N}\bruch{n+1}{(n+2)!}=\bruch{(n+2)!-1}{(n+2)!}
[/mm]
Die ist dann per vollständiger Induktion tatsächlich ganz leicht zu zeigen, und dann ist auch der Grenzwert 1 für [mm] N\rightarrow\infty [/mm] klar.
Ich bin aber sicher, es gibt noch ganz andere, elegantere Wege. schachuzipus ist z.B. auf einem solchen unterwegs.
Grüße,
reverend
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:27 Di 10.02.2009 | | Autor: | fred97 |
Noch eine Möglichkeit:
Setze $g(x) = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{x^{n+1}}{(n+2)!}$ [/mm] (x [mm] \in\IR)
[/mm]
Dann ist $g(1) = e-1-1/2$
Setze $f(x) = xg(x)$ , also $ f(x) = [mm] e^x-1-x/2$
[/mm]
Dann:
[mm] $e^x-1/2$ [/mm] = $f'(x)$ = $g(x)+xg'(x)$ = $g(x) +x [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(n+1)x^n}{(n+2)!}$
[/mm]
Für x=1:
$e-1/2 = e-1-1/2 [mm] +\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(n+1)}{(n+2)!}$
[/mm]
Somit: [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(n+1)}{(n+2)!} [/mm] = 1
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:46 Di 10.02.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo Fred,
ja, das ist elegant. Schöne Idee!
Grüße,
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:47 Di 10.02.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> ja, das ist elegant. Schöne Idee!
>
> Grüße,
> reverend
hallo reverend,
ich bedanke mich
FRED
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
