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| Aufgabe | Geben Sie an, ob die Reihe
[mm] \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{1}{(i+1)*(i+2)} [/mm]
konvergiert und bestimmen sie die Summe |
also zuerst überprüfen ob die folge der reihe eine nullfolge ist:
sieht man auf den ersten blick, dass dem so ist, also kann es sein, dass die reihe konvergiert, muss sie aber nicht.
zweiter schritt:
anwendung des Quotientenkriteriums ergibt:
[mm] \bruch{(i+1)*(i+2)}{((i+1)+1)*((i+1)+2)} [/mm] = [mm] \bruch{i+1}{i+3} [/mm]
und wenn ich nun folgende regel anwende:
"Ist [mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{P(n)}{Q(n)}, [/mm] wobei P und Q Polynome sind, so ersieht man das Konvergenzverhalten nach dem Kürzen durch die höchste Potenz von n, die im Nenner erscheint."
dann kommt heraus:
[mm] \bruch{\bruch{i}{i} + \bruch{1}{i}}{\bruch{i}{i} + \bruch{3}{i}} [/mm] = 1
und somit kann ich mit dem Quotientenkriterium keine Aussage über das Konvergenzverhalten machen.
Maple sagt mir die Summe (also damit auch der Grenzwert) ist 0.5
Nun meine Fragen:
1)
könnte es passieren, dass wenn ich das wurzelkriterium oder das quotientenkriterium für irgendeine reihe anwende dort ein wert kleiner 1 herauskommt und damit die reihe konvergent ist, obwohl die folge dieser reihe nicht gegen null läuft?
2)
ich hab ein satz über folgen gefunden der lautet:
"Ist [mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{P(n)}{Q(n)}, [/mm] wobei P und Q Polynome sind, so ersieht man das Konvergenzverhalten nach dem Kürzen durch die höchste Potenz von n, die im Nenner erscheint."
gegeben sei der bruch [mm] \bruch{1}{x} [/mm] ist der zähler ein polynom nullten grads und der nenner ein polynom n-ten grades?
gegeben sei der bruch [mm] \bruch{x}{x} [/mm] darf ich hierauf auch diesen satz anwenden oder darf der nennergrad nicht gleich dem zählergrad sein?
gegeben sei der bruch [mm] \bruch{x^2}{x} [/mm] darf ich hierauf auch diesen satz anwenden oder muss der nennegrad immer höher als der zählergrad sein?
3) wenn ich das quotientenkriterium bzw das wurzelkriterium anwende dann krieg ich einen wert heraus, ist dieser wert die summe(grenzwert) der reihe?
4) was hab ich falsch gemacht, wieso kommt bei mir nicht 0,5 heraus?
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Hallo!
> Geben Sie an, ob die Reihe
>
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty} \bruch{1}{(i+1)*(i+2)}[/mm]
>
> konvergiert und bestimmen sie die Summe
> also zuerst überprüfen ob die folge der reihe eine
> nullfolge ist:
>
> sieht man auf den ersten blick, dass dem so ist, also kann
> es sein, dass die reihe konvergiert, muss sie aber nicht.
>
Genau!
> zweiter schritt:
>
> anwendung des Quotientenkriteriums ergibt:
>
> [mm]\bruch{(i+1)*(i+2)}{((i+1)+1)*((i+1)+2)}[/mm] = [mm]\bruch{i+1}{i+3}[/mm]
>
> und wenn ich nun folgende regel anwende:
>
> "Ist [mm]a_n[/mm] = [mm]\bruch{P(n)}{Q(n)},[/mm] wobei P und Q Polynome sind,
> so ersieht man das Konvergenzverhalten nach dem Kürzen
> durch die höchste Potenz von n, die im Nenner erscheint."
>
> dann kommt heraus:
>
> [mm]\bruch{\bruch{i}{i} + \bruch{1}{i}}{\bruch{i}{i} + \bruch{3}{i}}[/mm]
> = 1 ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> und somit kann ich mit dem Quotientenkriterium keine
> Aussage über das Konvergenzverhalten machen.
>
Ganz genau.
> Maple sagt mir die Summe (also damit auch der Grenzwert)
> ist 0.5
>
>
> Nun meine Fragen:
>
> 1)
> könnte es passieren, dass wenn ich das wurzelkriterium
> oder das quotientenkriterium für irgendeine reihe anwende
> dort ein wert kleiner 1 herauskommt und damit die reihe
> konvergent ist, obwohl die folge dieser reihe nicht gegen
> null läuft?
[mm] \summe_{i=1}^{\infty} \frac{i}{2}
[/mm]
Hier liefert das Wurzelkriterium [mm] \frac{1}{2}, [/mm] aber die Reihe ist offensichtlich divergent.
>
> 2)
> ich hab ein satz über folgen gefunden der lautet:
>
> "Ist [mm]a_n[/mm] = [mm]\bruch{P(n)}{Q(n)},[/mm] wobei P und Q Polynome sind,
> so ersieht man das Konvergenzverhalten nach dem Kürzen
> durch die höchste Potenz von n, die im Nenner erscheint."
>
> gegeben sei der bruch [mm]\bruch{1}{x}[/mm] ist der zähler ein
> polynom nullten grads und der nenner ein polynom n-ten
> grades?
-->Nullfolge!
>
> gegeben sei der bruch [mm]\bruch{x}{x}[/mm] darf ich hierauf auch
> diesen satz anwenden oder darf der nennergrad nicht gleich
> dem zählergrad sein?
>
Doch klar. Gerade für diesen Fall macht der Satz am meisten Sinn.
> gegeben sei der bruch [mm]\bruch{x^2}{x}[/mm] darf ich hierauf auch
> diesen satz anwenden oder muss der nennegrad immer höher
> als der zählergrad sein?
>
Hier kannst du auch ausklammern und kürzen.
Generell ist es bei Brüchen eine gute Idee die höchst vorkommende Potenz, die im Nenner vorkommt, auszuklammern (also im Zähler und Nenner) und anschließend zu kürzen.
Dabei ist es egal ob der Nennergrad höher oder niedriger ist. Ist allerdings der Zählergrad höher als der Nennergrad so divergiert die Folge gegen unendlich und ist der Nennergrad höher so ist es eine Nullfolge. Klar warum?
> 3) wenn ich das quotientenkriterium bzw das wurzelkriterium
> anwende dann krieg ich einen wert heraus, ist dieser wert
> die summe(grenzwert) der reihe?
NEIN!!!!
Der Wert, den du nach Anwendung des Quot.- oder Wurzelkrit. bekommst, hat überhaupt nichts mit dem Reihenwert zu tun. Er sagt die nur etwas über Konvergenz oder nicht.
>
> 4) was hab ich falsch gemacht, wieso kommt bei mir nicht
> 0,5 heraus?
Den Wert einer Reihe zu berechnen ist meistens recht kompliziert. Manchmal kommt man auf die geometrische Reihe, deren Wert vom kennt. Bei dir hier bietet es sich an versuchen auf eine Teleskopsumme zu kommen, sodass sich fast alle Gleider rauskürzen.
Gruß Patrick
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recht herzlichen dank für die antwort, kann das gut nachvollziehen was du geschrieben hast.
aber noch eine frage beschäftigt mich. ich habe folgenden satz gefunden:
"Die geometrische Reihe [mm] \summe_{i=1}^{\infty} a_0 q^k [/mm] ist konvergent genau dann, wann |q| < 1 ist"
muss ich bei hierbei auch zuerst nachschauen ob die folge der reihe eine nullfoge ist, oder ist die folge einer geometrischen reihe immer eine nullfolge falls |q| < 1 ist.
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> recht herzlichen dank für die antwort, kann das gut
> nachvollziehen was du geschrieben hast.
>
> aber noch eine frage beschäftigt mich. ich habe folgenden
> satz gefunden:
>
> "Die geometrische Reihe [mm]\summe_{\red{k}=1}^{\infty} a_0 q^k[/mm] ist
> konvergent genau dann, wann |q| < 1 ist"
>
> muss ich bei hierbei auch zuerst nachschauen ob die folge
> der reihe eine nullfoge ist, oder ist die folge einer
> geometrischen reihe immer eine nullfolge falls |q| < 1 ist.
>
>
Da [mm] $q^k \to [/mm] 0, [mm] k\to \infty \gdw [/mm] |q|<1$ und [mm] a_0 [/mm] fest, ist es dann in diesem Fall immer eine Nullfolge.
Gruß Patrick
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:18 Sa 04.04.2009 | | Autor: | BlubbBlubb |
alles klar danke!
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Hallo Patrick,
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> [mm]\summe_{i=1}^{\infty} \frac{i}{2}[/mm]
> Hier liefert das Wurzelkriterium [mm]\frac{1}{2},[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Nee, [mm] $\limsup\limits_{i\to\infty}\sqrt[i]{\left|\frac{i}{2}\right|}=1$
[/mm]
> aber die Reihe ist offensichtlich divergent.
Eben, aber damit wäre das ganze Wurzelkriterium über den Haufen geworfen, oder? 
Ich vermute, du hast nen Dreher drin und die Reihe (richtig) als [mm] $\frac{1}{2}\sum [/mm] i$ hingeschrieben, aber das spielt ja für das WK keine Rolle ...
LG
schachuzipus
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