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| Aufgabe | | Grenzwert von [mm] (an)=\wurzel[2]{k}-\wurzel[2]{2+k} [/mm] |
So folgendes habe ich zu der Aufgabe schon zu Tage gefördert:
Ich habe den kompletten Term umgeformt in:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(ln(k))^{n}-(ln(k+2))^{n}}{2^{n}*n!}
[/mm]
Jetzt ist mir nur noch nicht bewusst, warum der Zähler null ergibt .... irgendwelche Hinweise vllt.?
Danke Roy
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Hallo roydebatzen,
> Grenzwert von [mm](an)=\wurzel[2]{k}-\wurzel[2]{2+k}[/mm]
Eine Konstante? Oder sollte das [mm]a_{\red{k}}[/mm] heißen?
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> So folgendes habe ich zu der Aufgabe schon zu Tage
> gefördert:
>
> Ich habe den kompletten Term umgeformt in:
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(ln(k))^{n}-(ln(k+2))^{n}}{2^{n}*n!}[/mm]
Auhauerhau! Wie kommt das denn zustande?
Oben steht doch eine Folge [mm](a_k)_{k\in\IN}=(\sqrt{k}-\sqrt{2+k})_{k\in\IN}[/mm]
Um den GW dieser Folge für [mm]k\to\infty[/mm] zu bestimmen, erweitere mit [mm]\sqrt{k}\red{+}\sqrt{2+k}[/mm]
Dann bekommst du die 3. binomische Formel und kannst gefahrlos [mm]k\to\infty[/mm] laufen lassen.
Dieser "Erweiterungstrick" mit der 3. binom. Formel ist immer gut, wenn du eine Summe oder Differenz von Wurzeln loswerden musst ...
Mache das mal, dann siehst du sehr schnell ein, dass [mm]a_k[/mm] eine Nullfolge ist.
Damit könnte die zugeh. Reihe [mm]\sum\limits_{k=0}^{\infty}(\sqrt{k}-\sqrt{2+k}[/mm] konvergieren, muss es aber nicht.
Aber bevor wir da weitermachen, kläre uns bitte mal bzgl. der genauen Aufgabenstellung auf.
Worum geht es?
Wie kommst du auf diese komische Reihe?
Wie hängt die mit dem [mm]a_k[/mm] zusammen?!
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> Jetzt ist mir nur noch nicht bewusst, warum der Zähler
> null ergibt .... irgendwelche Hinweise vllt.?
>
> Danke Roy
Gruß
schachuzipus
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Also (an) ist die Folge um die es geht.
und die Reihe die ich dorthin geschrieben habe ist die Folge in anderer Schreibweise.
Die Hausaufgabe ist den Grenzwert der Folge zu bestimmen und ergibt der Grenzwert der Reihe 0(was er tut) und würde ich dann noch verstehen warum, dann wäre die Aufgabe erledigt.
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Hallo nochmal,
ich verstehe immer noch nicht, worum es geht.
![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
Du sollst den GW der Folge [mm] $a_n$ [/mm] bestimmen und der ist der Reihenwert?
Mir erscheint es sehr sinnvoll, wenn du die Aufgabe mal im Originalwortlaut mit allem Zappzarapp und allem, was gegeben ist, hier aufschreibst ...
Gruß
schachuzipus
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Oh man,
also nochmal die Folge an oder besser ak bzw.hier wieder an ist gleich der niedergeschriebenen Reige nach einigen Umformungen:
Die Aufgabenstellung lautete:
Untersuchen Sie die Folge an auf Konvergenz:
an:= [mm] \wurzel[]{n} [/mm] - [mm] \wurzel[]{n+2} [/mm] , n Element der Natürlichen Zahlen
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hallo,
ich finds echt krass was du für ne Reihe daraus gemacht hast, (angenommen sie wäre richtig was ich nich sagen kann Hut ab!^^)
wie mein Vorgänger schon sagte, hier ist die dritte binomische formel der trick:
[mm] \wurzel{n} -\wurzel{n+2}
[/mm]
erweitern mit [mm] \bruch{\wurzel{n} + \wurzel{n+2}}{\wurzel{n} + \wurzel{n+2}}
[/mm]
bringt dir diese formel.. :
[mm] \bruch{\wurzel{n} -\wurzel{n+2} \*
\wurzel{n} + \wurzel{n+2}}{\wurzel{n} + \wurzel{n+2}}
[/mm]
= [mm] \bruch{n-n+2}{{\wurzel{n} + \wurzel{n+2}}}
[/mm]
= [mm] \bruch{2}{{\wurzel{n} + \wurzel{n+2}}}
[/mm]
für n gegen [mm] \infty [/mm] wird der nenner immer größer, der Zähler ändert sich nicht. Dementsprechend ist der Grenzwert 0, n [mm] \to \infty [/mm] .
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Hmmm.... Ja also erstmal wow manchmal sieht man den Wald vor lauter Bäumen nicht...Naja Mathematica sagt das meine Reihe tatsächlich die Folge ist.... übrigens hast du Klammern vergessen.... Danke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:38 Fr 13.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Also (an) ist die Folge um die es geht.
>
> und die Reihe die ich dorthin geschrieben habe ist die
> Folge in anderer Schreibweise.
Ganz sicher nicht !
FRED
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> Die Hausaufgabe ist den Grenzwert der Folge zu bestimmen
> und ergibt der Grenzwert der Reihe 0(was er tut) und würde
> ich dann noch verstehen warum, dann wäre die Aufgabe
> erledigt.
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