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Forum "Folgen und Grenzwerte" - Grenzwert für Ober-Untersumme
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Grenzwert für Ober-Untersumme: Summenformel?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:51 Sa 16.08.2008
Autor: Mandy_90

Aufgabe
Bilde den Grenzwert für die Ober-und Untersumme von [mm] f(x)=\bruch{1}{2}x [/mm] auf dem Intervall [0;1].

Hallo zusammen =)

Also es geht um die obenstehende Aufgabe.
Ich weiß wie man die Ober-und Untersumme berechnet,aber ich hab die Summenformel für diese Aufgabe nicht.

Für die Summe der ersten m Quadratzahlen gibt es z.B. die Formel [mm] \bruch{1}{6}*m*(m+1)*(2m+1).Aber [/mm] bei dieser Aufgabe sind es ja keine Quadratzahlen,gibts dann für diese Aufgabe auch eine Formel oder geht das ohne???

        
Bezug
Grenzwert für Ober-Untersumme: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:54 Sa 16.08.2008
Autor: M.Rex

Hallo

Dazu gibt es Formeln, schau mal []hier bei www.arndt-bruenner.de rein.

Hilft das weiter?

Oder besteht das Problem beim Aufstellen der Ober- bzw. Untersumme

Marius

Bezug
                
Bezug
Grenzwert für Ober-Untersumme: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:00 Sa 16.08.2008
Autor: Mandy_90

Ok,danke die Formel hab ich jetzt.Ich hab mal zunächst doe Untersumme gebildet,bin mir aber nicht ganz sicher,ob das so stimmt.

[mm] U_{n}=\bruch{1}{n}*[\bruch{1}{2}*0+\bruch{1}{2}*\bruch{1}{n}+\bruch{1}{2}*\bruch{2}{n}+...+\bruch{1}{2}*\bruch{n-1}{n}] [/mm]

          [mm] =\bruch{1}{n}*[0+\bruch{1}{2n}+\bruch{2}{2n}+...+\bruch{n-1}{2n}] [/mm]

[mm] =\bruch{1}{2n^{2}}*[0+1+2+...+(n-1)] [/mm]

Muss ich jetzt [mm] \bruch{1}{2n^{2}}*\bruch{n*(n+1)}{2} [/mm] rechnen?

Grenzwertbildung:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}U_{n}=\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{1}{2n^{2}}*\bruch{n*(n+1)}{2}) [/mm]

[mm] U_{n}=\bruch{1}{2} [/mm]

Ist das richtig so?

Bezug
                        
Bezug
Grenzwert für Ober-Untersumme: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:43 Sa 16.08.2008
Autor: MathePower

Hallo Mandy_90,

> Ok,danke die Formel hab ich jetzt.Ich hab mal zunächst doe
> Untersumme gebildet,bin mir aber nicht ganz sicher,ob das
> so stimmt.
>  
> [mm]U_{n}=\bruch{1}{n}*[\bruch{1}{2}*0+\bruch{1}{2}*\bruch{1}{n}+\bruch{1}{2}*\bruch{2}{n}+...+\bruch{1}{2}*\bruch{n-1}{n}][/mm]
>  
> [mm]=\bruch{1}{n}*[0+\bruch{1}{2n}+\bruch{2}{2n}+...+\bruch{n-1}{2n}][/mm]
>  
> [mm]=\bruch{1}{2n^{2}}*[0+1+2+...+(n-1)][/mm]
>  
> Muss ich jetzt [mm]\bruch{1}{2n^{2}}*\bruch{n*(n+1)}{2}[/mm]
> rechnen?
>  
> Grenzwertbildung:
>  
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}U_{n}=\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{1}{2n^{2}}*\bruch{n*(n+1)}{2})[/mm]

Die Untersumme ist ja:

[mm]U_{n}=\bruch{1}{2n^{2}}*\summe_{i=0}^{n-1}{i}=\bruch{1}{2n^{2}}*\summe_{i=1}^{n-1}{i}=\bruch{1}{2n^{2}}\bruch{ n*\left(n-1\right)}{2}[/mm]


>  
> [mm]U_{n}=\bruch{1}{2}[/mm]
>  
> Ist das richtig so?


Leider ist da ein Faktor [mm]\bruch{1}{2}[/mm] verlorengegangen.

Demnach ist [mm]U=\limes_{n\rightarrow\infty}{U_{n}}=\bruch{1}{4}[/mm]

>

Gruß
MathePower

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Grenzwert für Ober-Untersumme: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:51 Sa 16.08.2008
Autor: Mandy_90

Wo genau ist denn der Faktor verlorengegangen?

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Bezug
Grenzwert für Ober-Untersumme: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:04 Sa 16.08.2008
Autor: MathePower

Hallo Mandy_90,

> Wo genau ist denn der Faktor verlorengegangen?


Bei der Grenzwertbildung.

Gruß
MathePower

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Grenzwert für Ober-Untersumme: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:10 Sa 16.08.2008
Autor: Mandy_90


> [mm]U_{n}=\bruch{1}{n}*[\bruch{1}{2}*0+\bruch{1}{2}*\bruch{1}{n}+\bruch{1}{2}*\bruch{2}{n}+...+\bruch{1}{2}*\bruch{n-1}{n}][/mm]
>  >  
> >
> [mm]=\bruch{1}{n}*[0+\bruch{1}{2n}+\bruch{2}{2n}+...+\bruch{n-1}{2n}][/mm]
>  >  
> > [mm]=\bruch{1}{2n^{2}}*[0+1+2+...+(n-1)][/mm]
>  >  
> > Muss ich jetzt [mm]\bruch{1}{2n^{2}}*\bruch{n*(n+1)}{2}[/mm]
> > rechnen?
>  >  
> > Grenzwertbildung:
>  >  
> >
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}U_{n}=\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{1}{2n^{2}}*\bruch{n*(n+1)}{2})[/mm]
>  
> Die Untersumme ist ja:
>  
> [mm]U_{n}=\bruch{1}{2n^{2}}*\summe_{i=0}^{n-1}{i}=\bruch{1}{2n^{2}}*\summe_{i=1}^{n-1}{i}=\bruch{1}{2n^{2}}\bruch{ n*\left(n-1\right)}{2}[/mm]
>  
>

Hier hab ich nochmal ne Frage,warum heißt es jetzt n-1 im Bruch und nicht n+1 ?


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Grenzwert für Ober-Untersumme: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:23 Sa 16.08.2008
Autor: schachuzipus

Hallo Mandy,


> > Die Untersumme ist ja:
>  >  
> >
> [mm]U_{n}=\bruch{1}{2n^{2}}*\summe_{i=0}^{n-1}{i}=\bruch{1}{2n^{2}}*\summe_{i=1}^{n-1}{i}=\bruch{1}{2n^{2}}\bruch{ n*\left(n-1\right)}{2}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)


>  
> >  

> >
> Hier hab ich nochmal ne Frage,warum heißt es jetzt n-1 im
> Bruch und nicht n+1 ?
>  

Die Summenformel für die ersten $\red{n}$ natürlichen Zahlen ist

$\sum\limits_{i=1}^{\red{n}}i=\frac{n(n+1)}{2}$

Hier in deinem Fall läuft die Summe nicht bis $\red{n}$, sondern nur bis $\blue{n-1}$

Du betrachtest also nur die Summe der ersten n-1 natürlichen Zahlen $\sum\limits_{i=1}^{\blue{n-1}}i$

Da kannst du entweder alle $\red{n}$ in der ersten Formel durch $\blue{n-1}$ ersetzen und kommst direkt auf $\frac{(n-1)n}{2}$

Oder du schaust dir nochmal die Summe der ersten n natürlichen Zahlen (also die erste Formel) an und ziehst den letzten, also den n-ten Summanden, also n ab:

$\sum\limits_{i=1}^{n-1}i=\left(\sum\limits_{i=1}^{n}i}\right)-n$

$=\frac{n(n+1)}{2}-n=\frac{n(n+1)}{2}-\frac{2n}{2}=\frac{n^2+n-2n}{2}=\frac{n^2-n}{2}=\frac{(n-1)n}{2}$


LG

schachuzipus

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Grenzwert für Ober-Untersumme: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:40 Sa 16.08.2008
Autor: Mandy_90

ok gut,aber wie kommt man denn jetz auf [mm] U_{n}=\bruch{1}{4}.Wenn [/mm] ich nämlich für alle n=1 einsetze komm ich auf [mm] U_{n}=\bruch{1}{2},warum [/mm] muss man das jetzt mit [mm] \bruch{1}{2} [/mm] multiplizieren???

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Grenzwert für Ober-Untersumme: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:47 Sa 16.08.2008
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,


na, das hat Mathe Power doch schon geschrieben!!

Du betrachtest den GW für [mm] $n\to\infty$ [/mm] für die Untersumme [mm] $U_n$ [/mm]

Für die Untersumme (inkl. Vorfaktor) hattest du oben insgesamt:

[mm] $\frac{1}{2n^2}\cdot{}\sum\limits_{i=1}^{n-1}i=\frac{1}{2n^2}\cdot{}\frac{n(n-1)}{2}$ [/mm]

Von diesem Ausdruck musst du den GW für [mm] $n\to\infty$ [/mm] berechnen.

Also [mm] $\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{1}{2n^2}\cdot{}\frac{n(n-1)}{2}\right)$ [/mm]


Multipliziere mal den Zähler in dem hinteren Bruch aus und klammere dann [mm] $n^2$ [/mm] aus, dann kannste das mit dem [mm] $n^2$ [/mm] im Nenner des ersten Bruchs kürzen. Dann mache den Grenzübergang [mm] $n\to\infty$ [/mm]



Bzw. Kürze direkt ein n weg und klammere im verbleibenden Zähler nochmal n aus, dann kannste das gegen das verbleibende n im Nenner weghauen und schließlich den Grenzübergang machen

Ist aber derselbe Weg ...



LG

schachuzipus

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Grenzwert für Ober-Untersumme: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:13 Sa 16.08.2008
Autor: Mandy_90

ja ok wenn ich ein n direkt wegkürze uund das verbleibende n nochmal ausklammere hab ich ja [mm] \bruch{n*(1-1)}{4n} [/mm]

das n kürz ich weg,aber dann hab ich doch im Zähler 1-1=0 und dann steht doch da [mm] \bruch{0}{4} [/mm] ???

Bezug
                                                                        
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Grenzwert für Ober-Untersumme: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:27 Sa 16.08.2008
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

da ist dir beim Ausklammern ein Fehlerchen unterlaufen:

Nach dem ersten Kürzen bleibt ja:

[mm] $\frac{1}{2n}\cdot{}\frac{n-1}{2}=\frac{n-1}{4n}=\frac{n\cdot{}\left(1-\red{\frac{1}{n}}\right)}{4n}$... [/mm]


Kommst du nun beim Grenzübergang [mm] $n\to\infty$ [/mm] auf [mm] $\frac{1}{4}$ [/mm] ?

Gruß

schachuzipus

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Grenzwert für Ober-Untersumme: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:16 So 17.08.2008
Autor: Mandy_90

Nur mal so als Verständnisfrage,muss man jetzt nicht in [mm] \bruch{n*(1-\bruch{1}{n}}{4n} [/mm] für alle n die 1 einsetzen?
Wenn ich das mache,komm ich nämlich auf 0.

Bezug
                                                                                        
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Grenzwert für Ober-Untersumme: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:17 So 17.08.2008
Autor: angela.h.b.

Hallo,

wieso willst Du n=1 einsetzen.

Du willst doch den Limes für n [mm] \to \infty [/mm] ausrechnen.

Kürze in [mm] $\frac{n\cdot{}\left(1-\red{\frac{1}{n}}\right)}{4n} [/mm] $. noch das n, und dann überleg Dir, was passiert, wenn das n seeeeeeeeeeeeehr groß wird.

Gruß v. Angela





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Grenzwert für Ober-Untersumme: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:05 So 17.08.2008
Autor: Mandy_90

wenn ich das n wegkürze steht da [mm] \bruch{1-\bruch{1}{n}}{4}. [/mm]
Wenn das n sehr groß wird,bekomm ich auch ganz große Werte raus.
Ist das [mm] \bruch{1-\bruch{1}{n}}{4} [/mm] dann schon mein Endergebnis ???

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Grenzwert für Ober-Untersumme: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:15 So 17.08.2008
Autor: musicandi88


> wenn ich das n wegkürze steht da
> [mm]\bruch{1-\bruch{1}{n}}{4}.[/mm]
>  Wenn das n sehr groß wird,bekomm ich auch ganz große Werte
> raus.
>  Ist das [mm]\bruch{1-\bruch{1}{n}}{4}[/mm] dann schon mein
> Endergebnis ???

hallo!

du hast ja nur einen teil, wo n drinsteht. Dieser wird für [mm] n\to \infty [/mm] winzig klein. Das heißt, dass unser Ergebnis, also [mm] \bruch{1}{4} [/mm] ist.

LG
Andreas


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Grenzwert für Ober-Untersumme: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:16 So 17.08.2008
Autor: Mandy_90

ok,dann berechne ich jetzt mal die Obersumme.

[mm] O_{n}=\bruch{1}{n}*[\bruch{1}{2}*\bruch{1}{n}+\bruch{1}{2}*\bruch{2}{n}+\bruch{1}{2}*\bruch{n-1}{n}+\bruch{1}{2}*\bruch{n}{n}] [/mm]
          [mm] =\bruch{1}{2n^{2}}*[1+2+...+(n-1)+n] [/mm]
           [mm] =\bruch{1}{2n^{2}}*\bruch{n*(n+1)}{2} [/mm]

[mm] =\bruch{n*(n+1)}{4n^{2}} [/mm]

[mm] =\bruch{n*(1+\bruch{1}{n}}{4n} [/mm]

[mm] =\bruch{1+\bruch{1}{n}}{4} [/mm]

[mm] O_{n}=\bruch{1}{4} [/mm]  ???

Hab nochmal ne Frage,macht man das immer so,dass man zum Schluss den Teil wo das n drin steht in Gedanken gegen unendlich gehen lässt und der andere Teil wo kein n drin steht ist dann die Ober-bzw.Untersumme???

Bezug
                                                                                                                        
Bezug
Grenzwert für Ober-Untersumme: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:31 So 17.08.2008
Autor: musicandi88

Bilde den Grenzwert für die Ober-und Untersumme von $ [mm] f(x)=\bruch{1}{2}x [/mm] $ auf dem Intervall [0;1].

Dies war also die Aufgabe..

Ober-und Untersumme dienen ja dazu, die Fläche unter der Funktion zu ermitteln im geforderten Intervall.

Man sagt mein ich auch:

wenn gilt: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}O_{n}=\limes_{n\rightarrow\infty}U_{n}, [/mm] dann ist die Funktion diferenzierbar

da bei einer differenzierbaren Fkt. diese Grenzwerte also gleich sind, ist es egal ob, wir die Untersumme oder Obersumme benutzen, um die Fläche zu bestimmen:

[mm] A=\limes_{n\rightarrow\infty}O_{n} \vee A=\limes_{n\rightarrow\infty}U_{n} [/mm]

es ergibt sich im Endeffekt:

[mm] A=\bruch{1}{4} [/mm]

> ok,dann berechne ich jetzt mal die Obersumme.
>  
> [mm]O_{n}=\bruch{1}{n}*[\bruch{1}{2}*\bruch{1}{n}+\bruch{1}{2}*\bruch{2}{n}+\bruch{1}{2}*\bruch{n-1}{n}+\bruch{1}{2}*\bruch{n}{n}][/mm]
>            [mm]=\bruch{1}{2n^{2}}*[1+2+...+(n-1)+n][/mm]
>             [mm]=\bruch{1}{2n^{2}}*\bruch{n*(n+1)}{2}[/mm]
>  
> [mm]=\bruch{n*(n+1)}{4n^{2}}[/mm]
>  
> [mm]=\bruch{n*(1+\bruch{1}{n}}{4n}[/mm]
>  
> [mm]=\bruch{1+\bruch{1}{n}}{4}[/mm]
>  
> [mm]O_{n}=\bruch{1}{4}[/mm]  ???

[notok] [mm] O_{n} [/mm] kann kein von {n} unabhängiger Term sein

Dagegen ist der [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}O_{n} [/mm] ein von n unabhängier Wert, unsere gesuchte Fläche.

> Hab nochmal ne Frage,macht man das immer so,dass man zum
> Schluss den Teil wo das n drin steht in Gedanken gegen
> unendlich gehen lässt und der andere Teil wo kein n drin
> steht ist dann die Ober-bzw.Untersumme???

Man lässt die Variable nur gegen unendlich gehen, wenn man den Limes sucht. Wenn du nur die Ober-oder Untersumme suchst, dann bleibt das {n} drin.
Für die Fläche suchst du ja aber den Limes (Grenzwert), dann machst du [mm] {n}\to\infty [/mm]


Gruß
Andreas

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Grenzwert für Ober-Untersumme: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:45 So 17.08.2008
Autor: Mandy_90

Ich meinte eigentlich,dass wenn ich den Grenzwert berechne also [mm] n\to\infty [/mm] ob dann [mm] \bruch{1}{4} [/mm] rauskommt.


Bezug
                                                                                                                                        
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Grenzwert für Ober-Untersumme: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:47 So 17.08.2008
Autor: musicandi88


> Ich meinte eigentlich,dass wenn ich den Grenzwert berechne
> also [mm]n\to\infty[/mm] ob dann [mm]\bruch{1}{4}[/mm] rauskommt ???
>  Oder ist das auch falsch? [ok]

ganz genau! der Grenzwert der Obersumme für [mm] n\to\infty [/mm] ist [mm] \bruch{1}{4} [/mm]

Bezug
                                                                                                                        
Bezug
Grenzwert für Ober-Untersumme: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:29 So 17.08.2008
Autor: Blech


> Hab nochmal ne Frage,macht man das immer so,dass man zum
> Schluss den Teil wo das n drin steht in Gedanken gegen
> unendlich gehen lässt und der andere Teil wo kein n drin
> steht ist dann die Ober-bzw.Untersumme???

1. Bleibt irgendwo im Zähler ein n übrig, das sich nicht irgendwie wegkürzt, dann ist die Summe nicht endlich. Also kriegst Du als Wert für die Obersumme [mm] $\lim_{n\to\infty} [/mm] 2n$, dann ist die unendlich groß. Entweder ist die Fläche unter dem Graphen dann unendlich oder Du hast Dich verrechnet (oder er ist sehr häßlich, aber die kommen in der Schule denk ich nicht vor =)

2. Es muß sich nicht immer so schön sauber kürzen lassen wie hier mit
[mm] $\frac{n+1}{n}=1+\frac1n$ [/mm]

z.B. wäre
[mm] $\frac{6n^2+4n+1}{2n^2-5}=\frac{6n^2}{2n^2-5}+\frac{4n}{2n^2-5}+\frac{1}{2n^2-5}=\frac{6}{2-\frac{5}{n^2}}+\frac{4}{2n-\frac{5}{n}}+\frac{1}{2n^2-5}$ [/mm]

Hier hab ich im ersten Schritt die Summe im Zähler auseinandergezogen und dann im zweiten jeweils das n im Zähler weggekürzt.
der erste Nenner geht gegen 2, da [mm] $\frac{5}{n^2}$ [/mm] gegen 0 geht, also geht der erste Summand gegen [mm] $\lim_{n\to\infty}\frac{6}{2-\frac{5}{n^2}}=\frac{6}{2}=3$, [/mm] ohne daß man das n vorher schon komplett loswerden könnte.
Der zweite Nenner geht gegen unendlich, also verschwindet der zweite Summand.
Der dritte natürlich auch.


Schneller und einfacher wird's, wenn Du Dir merkst: Wenn Du ein Polynom durch ein anderes teilst, sind nur die höchsten Potenzen relevant. Hier also
[mm] $\lim_{n\to\infty}\frac{6n^2+4n+1}{2n^2-5}=\lim_{n\to\infty}\frac{6n^2}{2n^2}=6/2=3$ [/mm]

oder z.B.
[mm] $\lim_{n\to\infty}\frac{4n^2+3}{2n^3+5n}=\lim_{n\to\infty}\frac{4n^2}{2n^3}=\lim_{n\to\infty}\frac{4}{2n}=0$ [/mm]


ciao
Stefan

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