Grenzwert für Ober-Untersumme < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:51 Sa 16.08.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | | Bilde den Grenzwert für die Ober-und Untersumme von [mm] f(x)=\bruch{1}{2}x [/mm] auf dem Intervall [0;1]. |
Hallo zusammen =)
Also es geht um die obenstehende Aufgabe.
Ich weiß wie man die Ober-und Untersumme berechnet,aber ich hab die Summenformel für diese Aufgabe nicht.
Für die Summe der ersten m Quadratzahlen gibt es z.B. die Formel [mm] \bruch{1}{6}*m*(m+1)*(2m+1).Aber [/mm] bei dieser Aufgabe sind es ja keine Quadratzahlen,gibts dann für diese Aufgabe auch eine Formel oder geht das ohne???
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:54 Sa 16.08.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Dazu gibt es Formeln, schau mal ![[]](/images/popup.gif) hier bei www.arndt-bruenner.de rein.
Hilft das weiter?
Oder besteht das Problem beim Aufstellen der Ober- bzw. Untersumme
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:00 Sa 16.08.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
Ok,danke die Formel hab ich jetzt.Ich hab mal zunächst doe Untersumme gebildet,bin mir aber nicht ganz sicher,ob das so stimmt.
[mm] U_{n}=\bruch{1}{n}*[\bruch{1}{2}*0+\bruch{1}{2}*\bruch{1}{n}+\bruch{1}{2}*\bruch{2}{n}+...+\bruch{1}{2}*\bruch{n-1}{n}]
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{n}*[0+\bruch{1}{2n}+\bruch{2}{2n}+...+\bruch{n-1}{2n}]
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2n^{2}}*[0+1+2+...+(n-1)]
[/mm]
Muss ich jetzt [mm] \bruch{1}{2n^{2}}*\bruch{n*(n+1)}{2} [/mm] rechnen?
Grenzwertbildung:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}U_{n}=\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{1}{2n^{2}}*\bruch{n*(n+1)}{2})
[/mm]
[mm] U_{n}=\bruch{1}{2}
[/mm]
Ist das richtig so?
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Hallo Mandy_90,
> Ok,danke die Formel hab ich jetzt.Ich hab mal zunächst doe
> Untersumme gebildet,bin mir aber nicht ganz sicher,ob das
> so stimmt.
>
> [mm]U_{n}=\bruch{1}{n}*[\bruch{1}{2}*0+\bruch{1}{2}*\bruch{1}{n}+\bruch{1}{2}*\bruch{2}{n}+...+\bruch{1}{2}*\bruch{n-1}{n}][/mm]
>
> [mm]=\bruch{1}{n}*[0+\bruch{1}{2n}+\bruch{2}{2n}+...+\bruch{n-1}{2n}][/mm]
>
> [mm]=\bruch{1}{2n^{2}}*[0+1+2+...+(n-1)][/mm]
>
> Muss ich jetzt [mm]\bruch{1}{2n^{2}}*\bruch{n*(n+1)}{2}[/mm]
> rechnen?
>
> Grenzwertbildung:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}U_{n}=\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{1}{2n^{2}}*\bruch{n*(n+1)}{2})[/mm]
Die Untersumme ist ja:
[mm]U_{n}=\bruch{1}{2n^{2}}*\summe_{i=0}^{n-1}{i}=\bruch{1}{2n^{2}}*\summe_{i=1}^{n-1}{i}=\bruch{1}{2n^{2}}\bruch{ n*\left(n-1\right)}{2}[/mm]
>
> [mm]U_{n}=\bruch{1}{2}[/mm]
>
> Ist das richtig so?
Leider ist da ein Faktor [mm]\bruch{1}{2}[/mm] verlorengegangen.
Demnach ist [mm]U=\limes_{n\rightarrow\infty}{U_{n}}=\bruch{1}{4}[/mm]
>
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:51 Sa 16.08.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
Wo genau ist denn der Faktor verlorengegangen?
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Hallo Mandy_90,
> Wo genau ist denn der Faktor verlorengegangen?
Bei der Grenzwertbildung.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:10 Sa 16.08.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
> [mm]U_{n}=\bruch{1}{n}*[\bruch{1}{2}*0+\bruch{1}{2}*\bruch{1}{n}+\bruch{1}{2}*\bruch{2}{n}+...+\bruch{1}{2}*\bruch{n-1}{n}][/mm]
> >
> >
> [mm]=\bruch{1}{n}*[0+\bruch{1}{2n}+\bruch{2}{2n}+...+\bruch{n-1}{2n}][/mm]
> >
> > [mm]=\bruch{1}{2n^{2}}*[0+1+2+...+(n-1)][/mm]
> >
> > Muss ich jetzt [mm]\bruch{1}{2n^{2}}*\bruch{n*(n+1)}{2}[/mm]
> > rechnen?
> >
> > Grenzwertbildung:
> >
> >
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}U_{n}=\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{1}{2n^{2}}*\bruch{n*(n+1)}{2})[/mm]
>
> Die Untersumme ist ja:
>
> [mm]U_{n}=\bruch{1}{2n^{2}}*\summe_{i=0}^{n-1}{i}=\bruch{1}{2n^{2}}*\summe_{i=1}^{n-1}{i}=\bruch{1}{2n^{2}}\bruch{ n*\left(n-1\right)}{2}[/mm]
>
>
Hier hab ich nochmal ne Frage,warum heißt es jetzt n-1 im Bruch und nicht n+1 ?
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Hallo Mandy,
> > Die Untersumme ist ja:
> >
> >
> [mm]U_{n}=\bruch{1}{2n^{2}}*\summe_{i=0}^{n-1}{i}=\bruch{1}{2n^{2}}*\summe_{i=1}^{n-1}{i}=\bruch{1}{2n^{2}}\bruch{ n*\left(n-1\right)}{2}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> >
> >
> Hier hab ich nochmal ne Frage,warum heißt es jetzt n-1 im
> Bruch und nicht n+1 ?
>
Die Summenformel für die ersten $\red{n}$ natürlichen Zahlen ist
$\sum\limits_{i=1}^{\red{n}}i=\frac{n(n+1)}{2}$
Hier in deinem Fall läuft die Summe nicht bis $\red{n}$, sondern nur bis $\blue{n-1}$
Du betrachtest also nur die Summe der ersten n-1 natürlichen Zahlen $\sum\limits_{i=1}^{\blue{n-1}}i$
Da kannst du entweder alle $\red{n}$ in der ersten Formel durch $\blue{n-1}$ ersetzen und kommst direkt auf $\frac{(n-1)n}{2}$
Oder du schaust dir nochmal die Summe der ersten n natürlichen Zahlen (also die erste Formel) an und ziehst den letzten, also den n-ten Summanden, also n ab:
$\sum\limits_{i=1}^{n-1}i=\left(\sum\limits_{i=1}^{n}i}\right)-n$
$=\frac{n(n+1)}{2}-n=\frac{n(n+1)}{2}-\frac{2n}{2}=\frac{n^2+n-2n}{2}=\frac{n^2-n}{2}=\frac{(n-1)n}{2}$
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:40 Sa 16.08.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
ok gut,aber wie kommt man denn jetz auf [mm] U_{n}=\bruch{1}{4}.Wenn [/mm] ich nämlich für alle n=1 einsetze komm ich auf [mm] U_{n}=\bruch{1}{2},warum [/mm] muss man das jetzt mit [mm] \bruch{1}{2} [/mm] multiplizieren???
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Hallo nochmal,
na, das hat Mathe Power doch schon geschrieben!!
Du betrachtest den GW für [mm] $n\to\infty$ [/mm] für die Untersumme [mm] $U_n$
[/mm]
Für die Untersumme (inkl. Vorfaktor) hattest du oben insgesamt:
[mm] $\frac{1}{2n^2}\cdot{}\sum\limits_{i=1}^{n-1}i=\frac{1}{2n^2}\cdot{}\frac{n(n-1)}{2}$
[/mm]
Von diesem Ausdruck musst du den GW für [mm] $n\to\infty$ [/mm] berechnen.
Also [mm] $\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{1}{2n^2}\cdot{}\frac{n(n-1)}{2}\right)$
[/mm]
Multipliziere mal den Zähler in dem hinteren Bruch aus und klammere dann [mm] $n^2$ [/mm] aus, dann kannste das mit dem [mm] $n^2$ [/mm] im Nenner des ersten Bruchs kürzen. Dann mache den Grenzübergang [mm] $n\to\infty$
[/mm]
Bzw. Kürze direkt ein n weg und klammere im verbleibenden Zähler nochmal n aus, dann kannste das gegen das verbleibende n im Nenner weghauen und schließlich den Grenzübergang machen
Ist aber derselbe Weg ...
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:13 Sa 16.08.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
ja ok wenn ich ein n direkt wegkürze uund das verbleibende n nochmal ausklammere hab ich ja [mm] \bruch{n*(1-1)}{4n}
[/mm]
das n kürz ich weg,aber dann hab ich doch im Zähler 1-1=0 und dann steht doch da [mm] \bruch{0}{4} [/mm] ???
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Hallo nochmal,
da ist dir beim Ausklammern ein Fehlerchen unterlaufen:
Nach dem ersten Kürzen bleibt ja:
[mm] $\frac{1}{2n}\cdot{}\frac{n-1}{2}=\frac{n-1}{4n}=\frac{n\cdot{}\left(1-\red{\frac{1}{n}}\right)}{4n}$...
[/mm]
Kommst du nun beim Grenzübergang [mm] $n\to\infty$ [/mm] auf [mm] $\frac{1}{4}$ [/mm] ?
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:16 So 17.08.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
Nur mal so als Verständnisfrage,muss man jetzt nicht in [mm] \bruch{n*(1-\bruch{1}{n}}{4n} [/mm] für alle n die 1 einsetzen?
Wenn ich das mache,komm ich nämlich auf 0.
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Hallo,
wieso willst Du n=1 einsetzen.
Du willst doch den Limes für n [mm] \to \infty [/mm] ausrechnen.
Kürze in [mm] $\frac{n\cdot{}\left(1-\red{\frac{1}{n}}\right)}{4n} [/mm] $. noch das n, und dann überleg Dir, was passiert, wenn das n seeeeeeeeeeeeehr groß wird.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:05 So 17.08.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
wenn ich das n wegkürze steht da [mm] \bruch{1-\bruch{1}{n}}{4}.
[/mm]
Wenn das n sehr groß wird,bekomm ich auch ganz große Werte raus.
Ist das [mm] \bruch{1-\bruch{1}{n}}{4} [/mm] dann schon mein Endergebnis ???
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> wenn ich das n wegkürze steht da
> [mm]\bruch{1-\bruch{1}{n}}{4}.[/mm]
> Wenn das n sehr groß wird,bekomm ich auch ganz große Werte
> raus.
> Ist das [mm]\bruch{1-\bruch{1}{n}}{4}[/mm] dann schon mein
> Endergebnis ???
hallo!
du hast ja nur einen teil, wo n drinsteht. Dieser wird für [mm] n\to \infty [/mm] winzig klein. Das heißt, dass unser Ergebnis, also [mm] \bruch{1}{4} [/mm] ist.
LG
Andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:16 So 17.08.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
ok,dann berechne ich jetzt mal die Obersumme.
[mm] O_{n}=\bruch{1}{n}*[\bruch{1}{2}*\bruch{1}{n}+\bruch{1}{2}*\bruch{2}{n}+\bruch{1}{2}*\bruch{n-1}{n}+\bruch{1}{2}*\bruch{n}{n}]
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2n^{2}}*[1+2+...+(n-1)+n]
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2n^{2}}*\bruch{n*(n+1)}{2}
[/mm]
[mm] =\bruch{n*(n+1)}{4n^{2}}
[/mm]
[mm] =\bruch{n*(1+\bruch{1}{n}}{4n}
[/mm]
[mm] =\bruch{1+\bruch{1}{n}}{4}
[/mm]
[mm] O_{n}=\bruch{1}{4} [/mm] ???
Hab nochmal ne Frage,macht man das immer so,dass man zum Schluss den Teil wo das n drin steht in Gedanken gegen unendlich gehen lässt und der andere Teil wo kein n drin steht ist dann die Ober-bzw.Untersumme???
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Bilde den Grenzwert für die Ober-und Untersumme von $ [mm] f(x)=\bruch{1}{2}x [/mm] $ auf dem Intervall [0;1].
Dies war also die Aufgabe..
Ober-und Untersumme dienen ja dazu, die Fläche unter der Funktion zu ermitteln im geforderten Intervall.
Man sagt mein ich auch:
wenn gilt: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}O_{n}=\limes_{n\rightarrow\infty}U_{n}, [/mm] dann ist die Funktion diferenzierbar
da bei einer differenzierbaren Fkt. diese Grenzwerte also gleich sind, ist es egal ob, wir die Untersumme oder Obersumme benutzen, um die Fläche zu bestimmen:
[mm] A=\limes_{n\rightarrow\infty}O_{n} \vee A=\limes_{n\rightarrow\infty}U_{n} [/mm]
es ergibt sich im Endeffekt:
[mm] A=\bruch{1}{4}
[/mm]
> ok,dann berechne ich jetzt mal die Obersumme.
>
> [mm]O_{n}=\bruch{1}{n}*[\bruch{1}{2}*\bruch{1}{n}+\bruch{1}{2}*\bruch{2}{n}+\bruch{1}{2}*\bruch{n-1}{n}+\bruch{1}{2}*\bruch{n}{n}][/mm]
> [mm]=\bruch{1}{2n^{2}}*[1+2+...+(n-1)+n][/mm]
> [mm]=\bruch{1}{2n^{2}}*\bruch{n*(n+1)}{2}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{n*(n+1)}{4n^{2}}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{n*(1+\bruch{1}{n}}{4n}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{1+\bruch{1}{n}}{4}[/mm]
>
> [mm]O_{n}=\bruch{1}{4}[/mm] ???
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") [mm] O_{n} [/mm] kann kein von {n} unabhängiger Term sein
Dagegen ist der [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}O_{n} [/mm] ein von n unabhängier Wert, unsere gesuchte Fläche.
> Hab nochmal ne Frage,macht man das immer so,dass man zum
> Schluss den Teil wo das n drin steht in Gedanken gegen
> unendlich gehen lässt und der andere Teil wo kein n drin
> steht ist dann die Ober-bzw.Untersumme???
Man lässt die Variable nur gegen unendlich gehen, wenn man den Limes sucht. Wenn du nur die Ober-oder Untersumme suchst, dann bleibt das {n} drin.
Für die Fläche suchst du ja aber den Limes (Grenzwert), dann machst du [mm] {n}\to\infty
[/mm]
Gruß
Andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:45 So 17.08.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
Ich meinte eigentlich,dass wenn ich den Grenzwert berechne also [mm] n\to\infty [/mm] ob dann [mm] \bruch{1}{4} [/mm] rauskommt.
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> Ich meinte eigentlich,dass wenn ich den Grenzwert berechne
> also [mm]n\to\infty[/mm] ob dann [mm]\bruch{1}{4}[/mm] rauskommt ???
> Oder ist das auch falsch? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
ganz genau! der Grenzwert der Obersumme für [mm] n\to\infty [/mm] ist [mm] \bruch{1}{4}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:29 So 17.08.2008 | | Autor: | Blech |
> Hab nochmal ne Frage,macht man das immer so,dass man zum
> Schluss den Teil wo das n drin steht in Gedanken gegen
> unendlich gehen lässt und der andere Teil wo kein n drin
> steht ist dann die Ober-bzw.Untersumme???
1. Bleibt irgendwo im Zähler ein n übrig, das sich nicht irgendwie wegkürzt, dann ist die Summe nicht endlich. Also kriegst Du als Wert für die Obersumme [mm] $\lim_{n\to\infty} [/mm] 2n$, dann ist die unendlich groß. Entweder ist die Fläche unter dem Graphen dann unendlich oder Du hast Dich verrechnet (oder er ist sehr häßlich, aber die kommen in der Schule denk ich nicht vor =)
2. Es muß sich nicht immer so schön sauber kürzen lassen wie hier mit
[mm] $\frac{n+1}{n}=1+\frac1n$
[/mm]
z.B. wäre
[mm] $\frac{6n^2+4n+1}{2n^2-5}=\frac{6n^2}{2n^2-5}+\frac{4n}{2n^2-5}+\frac{1}{2n^2-5}=\frac{6}{2-\frac{5}{n^2}}+\frac{4}{2n-\frac{5}{n}}+\frac{1}{2n^2-5}$
[/mm]
Hier hab ich im ersten Schritt die Summe im Zähler auseinandergezogen und dann im zweiten jeweils das n im Zähler weggekürzt.
der erste Nenner geht gegen 2, da [mm] $\frac{5}{n^2}$ [/mm] gegen 0 geht, also geht der erste Summand gegen [mm] $\lim_{n\to\infty}\frac{6}{2-\frac{5}{n^2}}=\frac{6}{2}=3$, [/mm] ohne daß man das n vorher schon komplett loswerden könnte.
Der zweite Nenner geht gegen unendlich, also verschwindet der zweite Summand.
Der dritte natürlich auch.
Schneller und einfacher wird's, wenn Du Dir merkst: Wenn Du ein Polynom durch ein anderes teilst, sind nur die höchsten Potenzen relevant. Hier also
[mm] $\lim_{n\to\infty}\frac{6n^2+4n+1}{2n^2-5}=\lim_{n\to\infty}\frac{6n^2}{2n^2}=6/2=3$
[/mm]
oder z.B.
[mm] $\lim_{n\to\infty}\frac{4n^2+3}{2n^3+5n}=\lim_{n\to\infty}\frac{4n^2}{2n^3}=\lim_{n\to\infty}\frac{4}{2n}=0$
[/mm]
ciao
Stefan
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