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Grenzwert gegeben: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:42 Do 30.09.2010
Autor: kushkush

Aufgabe
1. Sei [mm] $(a_{n})_{n \in \IN}$ [/mm] eine Folge in $ [mm] \IR$. [/mm] Wir nehmen an ,dass 13 Grenzwert der Folge [mm] $(a_{n})_{n\in \IN}$ [/mm] ist. Zeige, dass 37 nicht Grenzwert der Folge [mm] $(a_{n})_{n \in \IN}$ [/mm] ist.

Hi,


Ich habe leider keinen Plan wie ich das lösen kann! Hat mir jemand eventuell einige Hinweise dazu?


Dankeschön


Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt und bin für jede Antwort dankbar.
        
Bezug
Grenzwert gegeben: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:19 Do 30.09.2010
Autor: Karl_Pech

Hallo kushkush,


Nimm die Vorgehensweise, die beim Beweis zur Eindeutigkeit des Grenzwerts einer Folge angewendet wird. Siehe dazu z.B. []hier oder suche dir selbst ein anderes Analysis-Skript.

Ich schreibe die Vorgehensweise aus dem obigen Skript mal ab, um hier zu kommentieren:


Für [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ gelte: [mm] $\left\|a_n-a\right\|<\epsilon\ \forall n\geqslant N_1(\epsilon)$ [/mm] und [mm] $\left\|a_n-\bar{a}\right\|<\epsilon\ \forall n\geqslant N_2(\epsilon)$. [/mm] Dann folgt für [mm] $n\geqslant\max\left\{N_1,N_2\right\}$ [/mm] die Ungleichung [mm] $\textcolor{blue}{2\epsilon}\operatorname{\textcolor{blue}{>}} \left\|a_n-a\right\|+\left\|a_n-\bar{a}\right\|=\left\|a-a_n\right\|+\left\|a_n-\bar{a}\right\|\geqslant\left\|a - a_n + a_n - \bar{a}\right\|=\textcolor{blue}{\left\|a-\bar{a}\right\|}$. [/mm] Also gilt [mm] $\forall\epsilon [/mm] > [mm] 0:a=\bar{a}$. [/mm]


Beim Beweis wird zuerst die Definition des Grenzwertes für beide Grenzwerte [mm] $a\!$ [/mm] und [mm] $\bar{a}$ [/mm] aufgeschrieben. Danach folgt eine Ungleichung, die Du am besten von rechts nach links im Originalskript liest (und dabei den Druckfehler beim 2ten Term von links berücksichtigst. ;-)) Dann sieht man nämlich, daß dort die beiden Ungleichungen, die wir von der Definition kennen, "zusammenaddiert" wurden. Anschließend wird hier die []Dreiecksungleichung verwendet. Da sich [mm] $a\!$ [/mm] und [mm] $\bar{a}$ [/mm] für beliebig kleine [mm] $\epsilon$ [/mm] "aneinander annähern", folgt die Eindeutigkeit des Grenzwerts. Setze jetzt [mm] $a\!$ [/mm] auf einen beliebigen konkreten Wert. Dann kann [mm] $\bar{a}$ [/mm] kein anderer Wert sein.



Viele Grüße
Karl



Bezug
                
Bezug
Grenzwert gegeben: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:27 So 03.10.2010
Autor: kushkush

Hallo Karl_Pech,


Danke!
Bezug
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