Grenzwert gegen Pi < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:17 Mo 18.01.2010 | | Autor: | oli_k |
Hallo,
im Zuge einer Stetigkeitsuntersuchung von [mm] \wurzel{(\pi-x)cos(x/2)} [/mm] muss ich den Grenzwert der Steigung am Punkt [mm] \pi [/mm] bilden (beidseitig).
Da aber aus
[mm] \bruch{\wurzel{(\pi-x)cos(x/2)}}{x-\pi}
[/mm]
erstmal nur 0/0 entsteht, muss ich umformen. Habe nun schon alles mögliche versucht - L'Hospital dürfen wir noch nicht anwenden. Ich weiß, dass x/sin(x) (oder umgekehrt?!) für x gegen 0 gegen 1 geht - kann ich damit was anfangen?
Vielen Dank!
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Hi
Kannst du nochmal präzisieren was du machen willst ?!
was weißt du bereits über stetigkeit ?
wo soll das stetig sein ? bei pi?
wiso betrachtest du die steigung (nehme mal an, du meinst damit das diferential) ? weißt du das die funktion differenzierbar ist ?
gruß moritz
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:18 Mo 18.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> im Zuge einer Stetigkeitsuntersuchung von
> [mm]\wurzel{(\pi-x)cos(x/2)}[/mm] muss ich den Grenzwert der
> Steigung am Punkt [mm]\pi[/mm] bilden (beidseitig).
>
> Da aber aus
> [mm]\bruch{\wurzel{(\pi-x)cos(x/2)}}{x-\pi}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> erstmal nur 0/0 entsteht, muss ich umformen. Habe nun
> schon alles mögliche versucht - L'Hospital dürfen wir
> noch nicht anwenden. Ich weiß, dass x/sin(x) (oder
> umgekehrt?!) für x gegen 0 gegen 1 geht - kann ich damit
> was anfangen?
Ja. Setze t:= \pi -x. Für x < \pi ist t> 0, somit
$ \bruch{\wurzel{(\pi-x)cos(x/2)}}{x-\pi} } = \wurzel{\bruch{cos(\pi/2-t/2)}{t}} =\wurzel{\bruch{sin(t/2)}{t}}= \wurzel{2*\bruch{sin(t/2)}{t/2}} $
jetzt t \to 0
Beachte: x \to \pi \gdw t \to 0
Den Fall x > \pi bekommst Du nun selbst hin .
FRED
>
> Vielen Dank!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:59 Mo 18.01.2010 | | Autor: | oli_k |
Gut, vielen Dank!
Aber hättest du in deinen Ausführungen nicht das [mm] (\pi-x) [/mm] weiter mitschleppen müssen?
Im letzten Schritt würde man dann sehen, dass eben dieser Vorfaktor je nach Seite gegen +0 oder -0 geht, der Rest gegen 1 - damit ist die Unstetigkeit offensichtlich.
Und noch was: Ich muss noch die Gesamtstetigkeit untersuchen. Ich würde rein logisch sagen, dass die Funktion im Rest stetig ist - gibt es da ein gutes mathematisches Argument für ohne langen Beweis?
Eigentlich hätte ich gesagt KOMPLETT stetig da Zusammenfügung aus überall stetigen Funktionen - ich vermute, der Haken liegt darin, dass die Wurzelfunktion bei 0 nicht stetig ist?
Danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:22 Mo 18.01.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
> Gut, vielen Dank!
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> Aber hättest du in deinen Ausführungen nicht das [mm](\pi-x)[/mm]
> weiter mitschleppen müssen?
Er hat
[mm] $\frac{\sqrt{\pi -x}}{\pi-x}$
[/mm]
gekürzt und dann substituiert.
Dabei kriegt er allerdings ein -1 im Nenner (weils ja [mm] $\frac{\sqrt{\pi -x}}{x-\pi}$ [/mm] ist), das fehlt.
> Eigentlich hätte ich gesagt KOMPLETT stetig da
> Zusammenfügung aus überall stetigen Funktionen - ich
> vermute, der Haken liegt darin, dass die Wurzelfunktion bei
> 0 nicht stetig ist?
Wo wird denn die Wurzel im Definitionsbereich 0?
Oder andersrum, warum muß [mm] $\pi$ [/mm] die einzige Stelle sein, wo die Wurzel 0 wird?
Und wie kurz Deine Stetigkeitsbetrachtung sein darf, kann ich leider nicht beurteilen. Ich weiß nicht, was Ihr schon bewiesen habt, Du darfst ja l'Hospital z.B. auch nicht verwenden.
ciao,
Stefan
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