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| Aufgabe | Berechnen Sie den folgenden Grenzwert:
[mm] \lim_{x\to 2} \frac{1}{x} \left( \frac{1}{2-x} - \frac{12}{8-x^3} \right) [/mm] |
Meine Ideen:
(i) Teile auf zu
[mm] \lim_{x\to 2} \frac{1}{x} \left( \frac{1}{2-x} - \frac{12}{8-x^3} \right) [/mm] = [mm] \left(\lim_{x\to 2} \frac{1}{x}\right) \cdot \left( \lim_{x\to 2} \frac{1}{2-x} - \frac{12}{8-x^3} \right),
[/mm]
aber das darf ich vermutlich nicht.
(ii) [mm] \frac{1}{2-x} [/mm] - [mm] \frac{12}{8-x^3} [/mm] = [mm] (2-x)^{-1} [/mm] - [mm] 12(8-x^3)^{-1} [/mm] = [mm] (2-x)^{-3} \cdot (2-x)^{2} [/mm] - [mm] 12(8-x^3)^{-1}
[/mm]
Bringt mir das etwas? ich denke in der Form noch nicht, aber irgedetwas muss es doch damit auf sich haben, dass die einzelnen Summenglieder jeweils x - [mm] x^3 [/mm] und 2 - 8 = [mm] 2^3 [/mm] sind.
Kann mir jemand auf die Sprünge helfen?
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Hallo sokratesius,
> Berechnen Sie den folgenden Grenzwert:
> [mm]\lim_{x\to 2} \frac{1}{x} \left( \frac{1}{2-x} - \frac{12}{8-x^3} \right)[/mm]
>
> Meine Ideen:
>
> (i) Teile auf zu
> [mm]\lim_{x\to 2} \frac{1}{x} \left( \frac{1}{2-x} - \frac{12}{8-x^3} \right)[/mm] = [mm]\left(\lim_{x\to 2} \frac{1}{x}\right) \cdot \left( \lim_{x\to 2} \frac{1}{2-x} - \frac{12}{8-x^3} \right),[/mm]
>
> aber das darf ich vermutlich nicht.
Warum vermutest du das? Was sagen die GW-Sätze?
>
> (ii) [mm]\frac{1}{2-x}[/mm] - [mm]\frac{12}{8-x^3}[/mm] = [mm](2-x)^{-1}[/mm] - [mm]12(8-x^3)^{-1}[/mm] = [mm](2-x)^{-3} \cdot (2-x)^{2}[/mm] - [mm]12(8-x^3)^{-1}[/mm]
> Bringt mir das etwas? ich denke in der Form noch nicht,
> aber irgedetwas muss es doch damit auf sich haben, dass die
> einzelnen Summenglieder jeweils x - [mm]x^3[/mm] und 2 - 8 = [mm]2^3[/mm]
> sind.
>
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> Kann mir jemand auf die Sprünge helfen?
Auf einen Blick: Mache die Klammer gleichnamig, dann hast du in der Klammer einen Bruch, der für [mm]x\to 2[/mm] gegen den unbestimmten Ausdruck [mm]\frac{0}{0}[/mm] geht.
Dann kannst du einmal die Regel von de l'Hôpital anwenden ...
Der Vorfaktor [mm]\frac{1}{x}[/mm] verhält sich für [mm]x\to 2[/mm] dabei "harmlos" und wirkt sich nicht auf das Grenzverhalten des Klammerausdrucks aus.
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:19 Fr 21.12.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo sokratesius!
Kleiner Tipp: es gilt [mm] $8-x^3 [/mm] \ = \ [mm] (2-x)*\left(x^2+2x+4\right)$ [/mm] .
Wenn Du beide Brüche dann zusammengefasst hast, kannst Du den (neuen) Zähler faktorisieren und $(2-x)_$ kürzen.
Gruß
Loddar
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