Grenzwert im Konvergenzbereich < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo, habe folgende Aufgabe.
Bestimmen sie die Konvergenradius der Reihe
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{3^k}{2^(k+1)}*x^k [/mm] und den Grenzwert im Konvergenzbereich.
Habe ich gemacht komme auf den Konvergenzradius [mm] \bruch{2}{3}.Also [/mm] ist mein Konvergenzbereich )- [mm] \bruch{2}{3}; \bruch{2}{3}(
[/mm]
Wenn ich jetzt [mm] \bruch{2}{3} [/mm] für x einsetzte erhalte ich doch den Grenzwert im Konvergenzbereich. Komme dann auf [mm] \bruch{1}{2}.
[/mm]
Stimmt das so ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:10 Fr 03.07.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo tunetemptation!
> Bestimmen sie die Konvergenradius der Reihe
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{3^k}{2^(k+1)}*x^k[/mm] und den
> Grenzwert im Konvergenzbereich.
> Habe ich gemacht komme auf den Konvergenzradius
> [mm]\bruch{2}{3}.Also[/mm] ist mein Konvergenzbereich )- [mm]\bruch{2}{3}; \bruch{2}{3}([/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Wenn ich jetzt [mm]\bruch{2}{3}[/mm] für x einsetzte erhalte ich doch
> den Grenzwert im Konvergenzbereich.
Das verstehe ich nicht.
> Komme dann auf [mm]\bruch{1}{2}.[/mm]
Was hast Du hier wie gerechnet?
Gruß
Loddar
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Also die Aufgabenstellung war den konvergenzradius der reihe zu bestimmen und dann den GW der Reihe im Konvergenzbereich. ich habe dann [mm] \bruch{2}{3} [/mm] für x eingesetzt das Quotientenkriterium angwandt und dann kam mal 1/2 heraus. keine Ahnung ob das stimmt. Das wäre ja der GW der an und nicht der Reihe.
Aber wie ermittel ich den der Reihe ???
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> Also die Aufgabenstellung war den konvergenzradius der
> reihe zu bestimmen und dann den GW der Reihe im
> Konvergenzbereich. ich habe dann [mm]\bruch{2}{3}[/mm] für x
> eingesetzt das Quotientenkriterium angwandt und dann kam
> mal 1/2 heraus. keine Ahnung ob das stimmt. Das wäre ja
> der GW der an und nicht der Reihe.
> Aber wie ermittel ich den der Reihe ???
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{3^k}{2^{k+1}}\cdot{}x^k
[/mm]
wenn du [mm] 2^{k+1} [/mm] in [mm] 2^k*2^1 [/mm] umwandelst, und die [mm] \frac{1}{2} [/mm] vor die summe ziehst, haben alle "faktoren" den gleichen exponenten: k, wenn du diese zusammenfasst, hast du eine geometrische reihe, von dem der grenzwert bekannt ist.
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Aha okay und was bringt mir das dann innerhalb von diesem Konvergenzbereich ???
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> Aha okay und was bringt mir das dann innerhalb von diesem
> Konvergenzbereich ???
dass die reihe dann in dem konvergenzbereich konvergiert. wenn du den grenzwert berechnet hast, siehst du auch, dass wenn du [mm] \frac{2}{3} [/mm] in die explizite formel (also den grenzwert abhängig von x) einsetzt, diese eine polstelle dort hat.
aber berechne den grenzwert doch erstmal 
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Wenn ich das in die GW Formel einsetzte erhalte ich [mm] \bruch{\bruch{1}{3}}{x-\bruch{2}{3}}
[/mm]
Wenn ich da jetzt für x [mm] \bruch{2}{3} [/mm] einsetze steht 0 im Nenner ???Ist doch nicht erlaubt ???
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> Wenn ich das in die GW Formel einsetzte erhalte ich
> [mm]\bruch{\bruch{1}{3}}{x-\bruch{2}{3}}[/mm]
> Wenn ich da jetzt für x [mm]\bruch{2}{3}[/mm] einsetze steht 0 im
> Nenner ???Ist doch nicht erlaubt ???
Weshalb willst du denn jetzt für x ausgerechnet
den Wert [mm] x=\bruch{2}{3} [/mm] einsetzen, der ja eben gerade
knapp nicht mehr im Konvergenzbereich liegt ?
Für alle x innerhalb des Konvergenzbereiches
liefert aber der Term
[mm] \bruch{\bruch{1}{3}}{x-\bruch{2}{3}}
[/mm]
den man übrigens noch vereinfachen sollte,
den Grenzwert, also die Summe der geometrischen
Reihe.
LG
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Sorry, war ja falsch .
Ist Ja [mm] \bruch{\bruch{1}{2}}{1-\bruch{3x}{2}}
[/mm]
Also vereinfacht [mm] \bruch{1}{2-3x}.
[/mm]
Dies ist dann also mien GW im KOnvergenzbereich ?!
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> Sorry, war ja falsch .
> Ist Ja [mm]\bruch{\bruch{1}{2}}{1-\bruch{3x}{2}}[/mm]
> Also vereinfacht [mm]\bruch{1}{2-3x}.[/mm]
> Dies ist dann also mien GW im KOnvergenzbereich ?!
richtig!
[mm] f(x)=\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{3^k}{2^{k+1}}\cdot{}x^k=\frac{1}{2-3*x} [/mm] für alle x [mm] \in ]-\frac{2}{3};\frac{2}{3}[
[/mm]
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> Wenn ich das in die GW Formel einsetzte erhalte ich
> [mm]\bruch{\bruch{1}{3}}{x-\bruch{2}{3}}[/mm]
du meinst eher [mm] \bruch{\bruch{1}{3}}{\red{-}(x-\bruch{2}{3})} [/mm] sonst hättest du für x [mm] \in ]0;\frac{2}{3}[ [/mm] mit der expliziten formel ja einen negativen grenzwert, was ja nicht sein kann, wenn man sich die summenformel anschaut
> Wenn ich da jetzt für x [mm]\bruch{2}{3}[/mm] einsetze steht 0 im
> Nenner ???Ist doch nicht erlaubt ???
"der Konvergenzradius einer Potenzreihe f(x) ist der Abstand zwischen ihrem Entwicklungspunkt und der nächstgelegenen Stelle, an der f(x) nicht beliebig oft diff'bar ist" (gilt nur über der Grundmenge [mm] \IC)
[/mm]
Entwicklungspunkt ist ja hier 0, und du siehst schön, dass du bei [mm] \frac{2}{3}(=Konvergenzradius) [/mm] eine Polstelle hast, also f(x) nicht diff'bar ist. Dachte ist mal ganz interessant den Zusammenhang für dich dabei zu sehen 
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