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Hallo,
Folgende Aufgabe:
Für welches a [mm] \in \IR [/mm] existiert [mm] g=\limes_{n\rightarrow\2}(\bruch{1}{x^{2}-4}-\bruch{a}{x-2}) [/mm] und welchen Wert hat dann g ?
Nun leider habe ich garkeine Idee wie ich hier anfangen soll.
Danke um jede Hilfe
Gruss
Habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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Hallo tunetemptation,
sollte die Aufgabe wie folgt lauten?
> Für welches [mm] a\in \IR [/mm] existiert
> [mm] g=\limes_{\red{x}\rightarrow \red{2}}(\bruch{1}{x^{2}-4}-\bruch{a}{x-2})
[/mm]
> und welchen Wert hat dann g ?
Bring doch mal alles auf einen Nenner, dann siehst Du's wahrscheinlich sofort. Der Nenner läuft ja auf jeden Fall gegen 0. Was ist also eine notwendige Bedingung für den Zähler? Ist sie auch hinreichend?
> Nun leider habe ich garkeine Idee wie ich hier anfangen
> soll.
> Danke um jede Hilfe
>
> Gruss
lg,
reverend
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Oh ja, hab mich da verschrieben.
Habe es zusammengafasst und komme auf den Bruch
[mm] ax^{2}-4a-x+2 [/mm] / [mm] (x^{2}-4)(x-2)
[/mm]
Welche bedingung muss den der Zähler erfüllen ?
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Hallo tunetemptation!
> Habe es zusammengafasst und komme auf den Bruch
> [mm]ax^{2}-4a-x+2[/mm] / [mm](x^{2}-4)(x-2)[/mm]
Da hast Du es Dir unnötig schwer gemacht, da der Hauptnenner [mm] $\left(x^2-4\right) [/mm] \ = \ (x+2)*(x-2)$ lautet.
> Welche bedingung muss den der Zähler erfüllen ?
Gegenfrage: was muss denn z.B. als Voraussetzung für die Anwendung mittels Herrn  de l'Hospital gelten?
Gruß vom
Roadrunner
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Der Zähler muss auch 0 sein. Also für welches a ist der Zähler 0 für x = 2 stimmt ?
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Hallo!
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Gruß vom
Roadrunner
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Danke.
Hab noch eine kurze Frage.
Bei vielen Aufgaben heißt es berechne den Grenzwert fals dieser existiert. Aber der existiert doch immer oder nicht? Veilleicht ein Bsp einer Funktoin wo er nicht exis.
Gruss und danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:49 Mo 05.01.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
hier hast du mal einen Fall, wo der Rechts- und der Linksseitige Grenzwert verscheiden sind.
Marius
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Hier zwei verschiedene Beispiele, bei denen nicht unmittelbar zu sehen ist, wie sie sich an der Stelle x=0 verhalten:
a) [mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{\ln{(x^2)}}{\tan{(x+\bruch{\pi}{2})}}= [/mm] ?
b) [mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{e^x-1}{\ln{(\cos{x})}}= [/mm] ?
In beiden Fällen musst Du de l'Hospital anwenden, u.U. sogar zweimal.
Ein einfacheres Beispiel ist
c) [mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{\sin{x}}{x^2}= [/mm] ?
lg,
reverend
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Zu deinem 3. BSP.
Ich wende zweimal Hospital an und bekomme als GW 0 also existiert dieser doch.... Dass kann man doch immer machen. Oder?
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Hallo!
> Ich wende zweimal Hospital an und bekomme als GW 0 also
> existiert dieser doch....
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Aber das hat reverend auch gar nicht bestritten.
> Dass kann man doch immer machen. Oder?
Das geht natürlich nur, wenn auch die Bedingungen für de l'Hospital eingehalten ist mit:
[mm] $$\limes_{x\rightarrow x_0}\bruch{f(x)}{g(x)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{0}{0}$$
[/mm]
oder
[mm] $$\limes_{x\rightarrow x_0}\bruch{f(x)}{g(x)} [/mm] \ = \ [mm] \pm\bruch{\infty}{\infty}$$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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Das dritte Beispiel ist doch [mm] \bruch{\sin{x}}{x^2}.
[/mm]
Da hilft Dir de l'Hospital zwar auch, aber nur um herauszufinden, dass es für [mm] x\rightarrow \a{}0 [/mm] keinen Grenzwert gibt.
Das gilt auch für die Funktion mit [mm] (e^x-1) [/mm] im Zähler. Nur die Funktion mit dem Tangens im Nenner hat einen Grenzwert für [mm] x\rightarrow \a{}0.
[/mm]
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Aber wenn ich 2 mal Hospital anwende bekomme ich doch -sin(x)/2 und dass ist doch dann 0/2 also O. Hat also den Grenzwert 0. Falsch ?
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Hallo!
> Aber wenn ich 2 mal Hospital anwende bekomme ich doch
> -sin(x)/2 und dass ist doch dann 0/2 also O. Hat also den
> Grenzwert 0. Falsch ?
Jawoll! Du darfst hier nämlich nur einmal de l'Hospital anwenden. Beim zweiten Mal ist keine der beiden Bedingungen erfüllt.
Gruß vom
Roadrunner
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ah gecheckt, hatte ich ja ganz vergessen. Danke danke danke
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...und wenn Du das a dann gefunden hast, musst Du noch prüfen, ob der Grenzwert denn wirklich existiert. Immerhin steht nach dem limes dann ja sozusagen [mm] \bruch{0}{0}.
[/mm]
Aber Roadrunner sprach ja schon vom ![[]](/images/popup.gif) Hospitalimus oder so ähnlich...
reverend
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Habe noch eine frage. Wenn ich den rechten Teil nu rmit (x+2) erweiter bekomme ich 1-ax-2a (mit a=2) also 1-2a-2a=0, dann ist mein a =1/4.
Wenn ich aber den linken Teil mit (x-2) und den rechten [mm] mit(x^2-4) [/mm] erweiter habe ich: [mm] ax^2-4a-x+2=0 [/mm] und dann steht da 4a-4a=0 und mein a ist beliebig aus R. Was mach eich falsch ?
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Aha wenn also mein renzwert von links ungleich dem von Rechtswert existiert kein Grenzwert ? Ich dachte dann wär die Funktion nicht diffbar....
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Stimmt. Und?
Du suchst aber noch ein Beispiel, wo der Grenzwert nicht existiert, also nicht nur rechtsseitig und linksseitig verschieden ist. Ich denk mal drüber nach.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:07 Mo 05.01.2009 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo tunetemptation!
> Aha wenn also mein renzwert von links ungleich dem von
> Rechtswert existiert kein Grenzwert ? Ich dachte dann wär
> die Funktion nicht diffbar....
Das folgt dann auch daraus. Im ersten Schritt ist die Funktion an dieser Stelle zunächst einmal nicht stetig.
Gruß vom
Roadrunner
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Ganz einfach. Du erweiterst beide Brüche mit (x-2), den rechten zusätzlich mit (x+2). Dann setzt Du x=2 ein. Du hast also (verbotenerweise) mit 0 erweitert, und die Gleichung verliert jede Aussagekraft.
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Und was bring tmir dann das ? Was bedeutet dass für mein a ?
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Hallo tunetemptation!
> Und was bring tmir dann das ?
Nichts, denn Deine Vorgehensweise macht ja alles kaputt! Daher zum Zusammenfassen nur den 2. Bruch mit $(x+2)_$ erweitern.
Gruß vom
Roadrunner
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Mh, aber man kann doch einen Bruch erweitern mit was man will jetzt mal salopp gesagt, warum hat dies hier so einen einfluss ?
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Hallo tunetemptation!
> Mh, aber man kann doch einen Bruch erweitern mit was man will
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Eben nicht! Du darfst mit alles erweitern, außer mit Null.
Und genau das hast Du gemacht ...
Gruß vom
Roadrunner
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AH ich vertsehe, super danke.
Hätte da noch eine andere Frage:
f(x) [mm] =\begin{cases} \bruch{\wurzel{x}-1}{1-x} für 0
0 für x=1
[mm] \bruch{x^{2}-1}{4(1-x)} [/mm] für 1<x
Ist diese funktion an der STelle xo=1 stetig und man soll den Limes für x->0+ und oo berechnen.
Meine Idee ich setzte den 3. Ast in den Dieffernzquotienten von rechts und den 1. von likns ein ? Stimmt dass ? Dann kann ich zeigen dass die funktoin diffbar ist dann ist sie ja auch stetig.
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Hallo tunetemptation,
> AH ich vertsehe, super danke.
> Hätte da noch eine andere Frage:
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> [mm] $f(x)=\begin{cases} \bruch{\wurzel{x}-1}{1-x},& \mbox{für} \ 0
>
> Ist diese funktion an der STelle xo=1 stetig und man soll
> den Limes für x->0+ und oo berechnen.
> Meine Idee ich setzte den 3. Ast in den
> Dieffernzquotienten von rechts und den 1. von likns ein ?
> Stimmt dass ? Dann kann ich zeigen dass die funktoin
> diffbar ist dann ist sie ja auch stetig.
Ja, du könntest über Nicht-Differenzierbarkeit an der Stelle [mm] $x_0=1$ [/mm] argumentieren.
Viel einfacher ist es hier aber, sich direkt den rechts- und linksseitigen Limes von $f(x)$ für [mm] $x\to [/mm] 1^+$ und [mm] $x\to [/mm] 1^-$ anzusehen
Es müsste ja für Stetigkeit bei beiden ja $f(1)=0$ herauskommen.
Du kannst bei den beiden "Ästen" durch Anwenden der 3. binomischen Formel alles schnell erledigen
Ich habe auf die Schnelle herausbekommen, dass zwar linksseitiger und rechtsseitiger Limes übereinstimmen, aber [mm] $\neq [/mm] f(1)=0$ sind
LG
schachuzipus
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Danke schon mal für deine Antwort, aber was meinst du soll ich mi tder 3. bin Formel machen ??? Im dritten Ast habe ich dann stehen (x-1)(X+1). Wenn ich aber 1 einsetzte kommt da doch auch 0 raus. Habe im 1. und 3. ast jeweils den GW -0,5 raus und wenn ich in beide 1 einsetzt kommt bei beiden 0 raus...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:30 Mo 05.01.2009 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo tunetemptatation!
Warum stellst Du diese Aufgabe hier zweimal ein? ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
Hier habe ich Dir entsprechende Tipps gegeben.
Gruß vom
Roadrunner
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Sorry, hab gedacht da diese Aufgabe neu ist stelle ich ein neues Thema.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:52 Mo 05.01.2009 | | Autor: | reverend |
Sehr gute Idee, tunetemptation:
neue Aufgabe [mm] \Rightarrow[/mm] neue Anfrage.
Dann schließen wir die Diskussion hier doch einfach.
Grüße,
reverend
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ok, danke. Aber bitte auch dann blcik auf meine neue frage stellen, steh glaub ich kurz vorm durchbruch
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