Grenzwert komplexe Folge < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:29 Di 12.05.2009 | | Autor: | Malk |
| Aufgabe | Auf Konvergenz bzw. Divergenz untersuchen und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] bestimmen.
[mm]a_{n} = \left( \bruch{1-i}{1+i} \right)^n[/mm] |
[mm]\left( \bruch{1-i}{1+i} \right)^n = \left( \bruch{(1-i)(1+i)}{(1+i)^2} \right)^n = \left( \bruch{1+i-i-i^2}{1+i+i+i^2} \right)^n = \left( \bruch{2}{2i} \right)^n = \left( \bruch{2i}{2i^2} \right)^n = \left( \bruch{2i}{-2} \right)^n = -i^n[/mm]
-i,1,i,-1........
Und weiter?
Derive gibt einen Grenzwert von [mm] sin(\infty)+i*sin(\infty) [/mm] an.
# Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Malk,
> Auf Konvergenz bzw. Divergenz untersuchen und
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] bestimmen.
>
> [mm]a_{n} = \left( \bruch{1-i}{1+i} \right)^n[/mm]
> [mm]\left( \bruch{1-i}{1+i} \right)^n = \left( \bruch{(1-i)(1+i)}{(1+i)^2} \right)^n = \left( \bruch{1+i-i-i^2}{1+i+i+i^2} \right)^n = \left( \bruch{2}{2i} \right)^n = \left( \bruch{2i}{2i^2} \right)^n = \left( \bruch{2i}{-2} \right)^n = -i^n[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Bisschen umständlich, aber richtig, schneller geht's, wenn du direkt mit $1-i$ erweiterst ...
Die Ausgangsfolge kannst du also einfacher schreiben als [mm] $\left(-i^n\right)_{n\in\IN}$
[/mm]
Betrachte doch mal die 4 Teilfolgen für $n=4k, n=4k+1, n=4k+2, n=4k+3$ ...
>
> -i,1,i,-1........
>
> Und weiter?
Das ist doch schon sehr gut, du kannst die Ausgangsfolge also in 4 Teilfolgen aufspalten (s. oben), die jede für sich immer denselben Wert produziert. Das Ding springt also immer in einem 4er-Zyklus zwischen den 4 Werten, die du oben berechnet hast, hin und her.
Die Ausgangsfolge hat also 4 Häufungswerte, was bedeutet das für die Konvergenz?
>
> Derive gibt einen Grenzwert von [mm]sin(\infty)+i*sin(\infty)[/mm]
> an.
>
> # Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:09 Di 12.05.2009 | | Autor: | Malk |
Divergent wie die Folge [mm] (-1)^n. [/mm]
[mm] (-1)^n [/mm] hat den gleichen Grenzwert in Derive. Was heißt dieser Wert?
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Hallo nochmal,
> Divergent
Natürlich ist das divergent!
> wie die Folge [mm](-1)^n.[/mm]
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> [mm](-1)^n[/mm] hat den gleichen Grenzwert in Derive. Was heißt
> dieser Wert?
Eine divergente Folge hat keinen Grenzwert!
Der "Wert" [mm] $\sin(\infty)$ [/mm] ist unsinnig, der Sinus oszilliert doch immer hin und her, [mm] $\sin(x)$ [/mm] strebt für [mm] $x\to\infty$ [/mm] nicht gegen einen GW, das ist divergent!
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:28 Di 12.05.2009 | | Autor: | Malk |
Danke für die Antwort.
Derive hat mich nur etwas verwirrt
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