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Hallo!
Ich habe von meinem LK-Lehrer eine Aufgabe bekommen, die ich nicht lösen kann. (Aber gerne möchte)
Ich habe zwei Funktionen (unabhängig voneinander) [mm] f(x)=2^x [/mm] und [mm] g(x)=0,5^x.
[/mm]
Von diesem beiden Funktionen soll ich den Grenzwert gegen + und - Unendlich bestimmen!
Leider hat mein Matelehrer aus dem letzten Jahr es nicht für nötig gehalten uns ein solches Beispiel rechnen zu lassen, daher kann ich diese Aufgabe nicht lösen!
Ich würde mich freuen, wenn jemand mir einen Nachvollziehbaren Lösungweg nennen könnte...
Schonmal im vorraus Vielen Dank!
little_tricia
PS: Wie kann ich das Zeichen für "Unendlich" eingeben?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:56 Do 10.08.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo, little_tricia,
Wenn du die Funktionen erstmal mit einem geeigneten Programm, ich habe ![[]](/images/popup.gif) Funkyplot benutzt, plottest, kannst du dir schon mal ein Bild der Funktionen machen.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Diese beiden Funktionen stehen exemplarisch für Funktionen der Art f(x) = [mm] a^{x} [/mm] , wobei es, wie du unschwer erkennst, einen grossen Unterschied macht, ob a [mm] \in [/mm] (0:1), oder a > 1 ist
Gilt a > 1, verläuft der Graph für x [mm] \to -\infty [/mm] gegen 0 und für x [mm] \to +\infty [/mm] gegen [mm] \infty.
[/mm]
Für den Fall a [mm] \in [/mm] (0;1) dreht sich der Verlauf.
Ach ja \ infty (ohne Leerzeichen) ergibt [mm] \infty.
[/mm]
Hift das weiter?
Marius
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpeg) [nicht öffentlich]
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Vielen Dank für deine Antwort!
Gibt es dazu auch einen Rechenweg? Oder eine Rechenmöglichkeit? (Bei komplizierteren Funktionen z.B oder für Klausuren)
little_tricia
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| Status: |
(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 20:33 Do 10.08.2006 | | Autor: | Kuebi |
Hey du!
Nun, ich weiß jetzt natürlich nicht, welche Grundlagen du mitbringst, aber ich versuchs mal...
Zuerst zur Funktion [mm] f(x)=2^{x}.
[/mm]
Wir betrachten hier zunächst [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}f(x).
[/mm]
Wir machen uns klar, dass [mm] 2^{x} [/mm] ja immer größer wird mit größer werdendem x. Etwa:
[mm] 2^{1}=2
[/mm]
[mm] 2^{2}=4
[/mm]
[mm] 2^{3}=8
[/mm]
[mm] 2^{x}=\underbrace{2*2*...*2}_{x-mal}
[/mm]
Strebt jetzt x gegen unendlich, wird die Zahl 2 unendlich oft verdoppelt, also insgesamt unendlich groß. Das ist denke ich klar.
Betrachten wir nun den zweiten Fall [mm] \limes_{x\rightarrow-\infty}f(x).
[/mm]
x nimmt immer kleinere negative Werte an. Und für negative x gilt:
[mm] f(-x)=2^{-x}=\bruch{1}{2^{x}} [/mm] (Das ist denke ich bekannt!)
Vom Nenner dieses Bruches wissen wir bereits, dass er gegen unendlich geht! (Siehe oben!)
Wenn ich nun die Zahl 1 durch eine immer größere Zahl teile, wird die Zahl immer kleiner und rennt mir letztlich gegen Null.
Eine elegantere Begründung wäre der Satz von l'Hospital...
Sei [mm] f(x)=\bruch{g(x)}{h(x)} [/mm] mit g(x)=1 und [mm] h(x)=2^{x}. [/mm] Wir haben also nur umgeschrieben.
Der Satz von l'Hospital besagt nun, dass der Grenzwert der Ableitungen gleich dem Grenzwert der eigentlichen Funktion ist.
Explizit:
[mm] \limes_{x\rightarrow-\infty}f(x)=\bruch{g(x)}{h(x)}=\bruch{g(x)'}{h(x)'}
[/mm]
Das ist praktisch. Denn die Ableitung von g(x) ist 0, da g(x) konstant ist. Also wird der gesamte Bruch Null und somit auch unser Grenzwert.
Alles klar soweit?
Für die zweite Funktion kann man analog vorgehen, allerdings dreht sich hier einiges um, da unsere Basis kleiner als 1 ist. Das darfst du dir jetzt überlegen! Und wenns nicht klappt, einfach nochmal nachfragen!
Viel Spaß dann noch beim Rechnen!
Lg, Kübi
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Vielen Dank!
Das habe ich verstanden und ich habe für die Funktion [mm] f(x)=0,5^x
[/mm]
-> [mm] \infty [/mm] : 0
->- [mm] \infty [/mm] : [mm] \infty
[/mm]
Stimmt das?
Beim Staz von l'hospital habe ich eine kleine Frage:
Wie kommst du darauf, dass g(x)=1 ist? Das kann ich irgendwie nicht nachvollziehen!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:06 Mo 14.08.2006 | | Autor: | Kuebi |
Hallo Roadrunner!
Da sag ich aber mal ein ganz dickes Dankeschön! Offensichtlich hab ich den Teil dieses Satzes schön übersehen und nur die anderen Vorraussetzungen beachtet.
Wieder mal viel dazugelernt!
Schade nur, dass ich dann eine falsche Antowort gegeben habe!
Lg, Kübi
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Grenzwertsatz nach de l'Hospital