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Grenzwert mit Hilfe von L´Hosp: Aufgabe Grenzwertberechnung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:27 Sa 05.12.2009
Autor: capablanca

Aufgabe
Berechnen Sie mit Hilfe der Regel von de l'Hospital:

[mm] \limes_{x \to\(1}\bruch{x^n-nx+n-1}{(x-1)^2} [/mm]

Mein Ansatz:

Da wenn ich für x  einsen einsetze 0/0 rauskommt wende ich die Regel von L´Hospital an. Mit der Quotienten Regel für die ganze Gleichung und Kettenregel für den Nenner Bekomme ich folgende Ableitung von der Gleichung raus: [mm] \bruch{nx^-1}{2x-2}. [/mm] ist das bis jetzt richtig? Und wenn ja wie gehe ich weiter vor?

danke im vorraus

gruß Alex

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
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Grenzwert mit Hilfe von L´Hosp: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:39 Sa 05.12.2009
Autor: VornameName

Hallo Alex,

> Berechnen Sie mit Hilfe der Regel von de l'Hospital:
>  
> [mm]\limes_{x \to\(1}\bruch{x^n-nx+n-1}{(x-1)^2}[/mm]
>  
> [mm]\bruch{nx^-1}{2x-2}.[/mm] ist das bis jetzt richtig? Und wenn ja

Ich erhalte [mm]\textstyle\lim_{x\to 1}{\frac{n\left(x^{n-1}-1\right)}{2x-2}}[/mm]. Du kannst hier nochmal l'Hospital anwenden.

Gruß V.N.

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Grenzwert mit Hilfe von L´Hosp: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:03 Sa 05.12.2009
Autor: capablanca

Danke für die Antwort, ich würde gerne mein Fehler beim Ableiten entdecken, deswegen schreibe ich meien Lösung nochmal detaliert auf und hoffe auf ein Hinweis:

Also weil die Aufgabe ein Bruch ist wende ich Hier die Qutientenregel an also
[mm] \bruch{u'v-v'u}{v^2} [/mm]
u= Zähler u'=nx^-1-1+1 also nx^-1
v= Nenner v'= mit(Kettenregel) 2x-2

und jetzt setzt ich alles in die Quotienformel ein also:
[mm] \bruch{nx^-1*(x-1)^2-2x-2(x^n-nx+n-1)}{(x-1)^4} [/mm]
wo habe ich ein Fehler gemacht?

biete um ein Tpp

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Grenzwert mit Hilfe von L´Hosp: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:12 Sa 05.12.2009
Autor: angela.h.b.


> Danke für die Antwort, ich würde gerne mein Fehler beim
> Ableiten entdecken, deswegen schreibe ich meien Lösung
> nochmal detaliert auf und hoffe auf ein Hinweis:
>  
> Also weil die Aufgabe ein Bruch ist wende ich Hier die
> Qutientenregel

Hallo,

da haben wir den Fehler!

Wenn Du den Grenzwert einer Funktion [mm] f=\bruch{g}{h} [/mm] mit l'Hospital berechnest, dann geht das nicht, indem Du f ableitest,

sondern Du leitest Zähler und Nenner völlig getrennt ab und berechnest dann den GW von [mm] \bruch{g'(x)}{h'(x)}. [/mm]

Gruß v. Angela



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Grenzwert mit Hilfe von L´Hosp: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:29 Sa 05.12.2009
Autor: capablanca

ah so, ist dann die Vorgehensweise hier korrekt:

die Ableitung-> [mm] $\bruch{nx^-1}{2x-2}$richtig? [/mm] und jetzt nochmal l´Hospital anwenden aber wie leitet man jetzt den Zähler ab so?->$ -nx^-2$ ?

Bezug
                                        
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Grenzwert mit Hilfe von L´Hosp: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:34 Sa 05.12.2009
Autor: angela.h.b.


> ah so, ist dann die Vorgehensweise hier korrekt:
>  
> die Ableitung-> [mm]\bruch{nx^-1}{2x-2}[/mm]richtig?

Hallo,

nein, Dein Zähler stimmt nicht. Du hattest doch im Zähler [mm] g(x)=x^n-nx+n-1. [/mm]

Was ist denn die Ableitung von [mm] x^n [/mm] und was von nx und was von n-1 ?

(Das n mußt Du behandeln, als stünde dort eine feste Zahl.)

Gruß v. Angela

und jetzt

> nochmal l´Hospital anwenden aber wie leitet man jetzt den
> Zähler ab so?-> -nx^-2 ?


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Grenzwert mit Hilfe von L´Hosp: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:44 Sa 05.12.2009
Autor: capablanca

ok also so:

[mm] \bruch{nx^-1-n^-1*1+n^-1}{2x-2} [/mm] ich denke das ist falsch aber ich komme nicht drauf wie man nx und n ableitet. Die Ableitung von [mm] x^n [/mm] ist [mm] nx^n-1, [/mm] die Ableitung von -nx ist -n^-1*1 und die Ableitung von n ist n^-1 oder?



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Grenzwert mit Hilfe von L´Hosp: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:48 Sa 05.12.2009
Autor: angela.h.b.


> ok also so:
>  
> [mm]\bruch{nx^-1-n^-1*1+n^-1}{2x-2}[/mm] ich denke das ist falsch

Hallo,

jetzt rechne nicht wie Rumpelstilzchen, nur weil da ein n vorkommt.

Kannst Du [mm] g_7(x)=x^7 [/mm] - 7x +7-1 ableiten?

Danach gleich [mm] g_8(x)=x^8 [/mm] - 8x +8-1

Mach mal!

Gruß v. Angela

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Grenzwert mit Hilfe von L´Hosp: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:51 Sa 05.12.2009
Autor: capablanca

das ist leicht:
1) [mm] 7x^6-7 [/mm]
2) [mm] 8x^7-8 [/mm]

Bezug
                                                                        
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Grenzwert mit Hilfe von L´Hosp: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:00 Sa 05.12.2009
Autor: angela.h.b.


> das ist leicht:
>  1) [mm]7x^6-7[/mm]
>  2) [mm]8x^7-8[/mm]  

Na also.

Wir schreiben das jetzt nochmal ausführlich - es wäre schön, wenn auch Du die Funktion immer dazuschreiben würdest, und ein g'(x)= ist doch auch nicht so mühsam, oder?

[mm] g_7(x)=x^7-7x [/mm] + 7-1
[mm] g'_7(x)=7x^{7-1}-7x [/mm]

[mm] g_8(x)=x^8-8x [/mm] + 8-1
[mm] g'_8(x)=8x^{8-1}-8x [/mm]

Und nun dasselbe mit n, das n steht ja für eine feste Zahl. Es ist keine Variable. Die variable, nach der abgeleitet wird, ist in allen Fällen hier das x.

[mm] g_n(x)=x^n-nx [/mm] + n-1
[mm] {g'}_{n}(x)= [/mm] ...

Versuch's!

Gruß v. Angela



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Grenzwert mit Hilfe von L´Hosp: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:08 Sa 05.12.2009
Autor: capablanca

ok,
[mm] g'_n(x)=nx^{n-1}-n [/mm]
ist das so ok?

Bezug
                                                                                        
Bezug
Grenzwert mit Hilfe von L´Hosp: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:11 Sa 05.12.2009
Autor: VornameName


> ok,
>  [mm]g'_n(x)=nx^{n-1}-n[/mm]
>  ist das so ok?

Ja, es ist richtig.

Bezug
        
Bezug
Grenzwert mit Hilfe von L´Hosp: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:24 Sa 05.12.2009
Autor: capablanca

Danke für die Hilfe!!!

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