Grenzwert mit Integral < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:10 Mi 01.02.2017 | | Autor: | Dom_89 |
| Aufgabe | Berechne den Grenzwert von
[mm] \limes_{x\rightarrow0}\bruch{\integral_{0}^{x}{(e^{t}-e^{-t}) dt}}{1-cos(x)} [/mm] |
Hallo,
hier einmal mein Lösungsvorschlag:
[mm] \limes_{x\rightarrow0}\bruch{\integral_{0}^{x}{(e^{t}-e^{-t}) dt}}{1-cos(x)}
[/mm]
Zunächst habe ich das Integral gelöst:
[mm] \integral_{0}^{x}{(e^{t}-e^{-t}) dt} [/mm] = [mm] [e^{t}+e^{-t}]_{0}^{x} [/mm] = [mm] e^{x}+e^{-x}-2
[/mm]
Dann geht es an den Grenzwert:
[mm] \limes_{x\rightarrow0} \bruch{e^{x}+e^{-x}-2}{1-cos(x)} [/mm] = [mm] \bruch{e^{x}+e^{-x}}{sin(x)} [/mm] = 0
Stimmt das so?
Vielen Dank
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:22 Mi 01.02.2017 | | Autor: | fred97 |
> Berechne den Grenzwert von
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow0}\bruch{\integral_{0}^{x}{(e^{t}-e^{-t}) dt}}{1-cos(x)}[/mm]
>
> Hallo,
>
> hier einmal mein Lösungsvorschlag:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow0}\bruch{\integral_{0}^{x}{(e^{t}-e^{-t}) dt}}{1-cos(x)}[/mm]
>
> Zunächst habe ich das Integral gelöst:
>
> [mm]\integral_{0}^{x}{(e^{t}-e^{-t}) dt}[/mm] =
> [mm][e^{t}+e^{-t}]_{0}^{x}[/mm] = [mm]e^{x}+e^{-x}-2[/mm]
>
> Dann geht es an den Grenzwert:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow0} \bruch{e^{x}+e^{-x}-2}{1-cos(x)}[/mm] =
> [mm]\bruch{e^{x}+e^{-x}}{sin(x)}[/mm] = 0
>
> Stimmt das so?
nein. Wenn Du den Grenzwert [mm]\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{e^{x}+e^{-x}-2}{1-cos(x)}[/mm] mit L'Hospital berechnest, so ergibt das
[mm]\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{e^{x}-e^{-x}}{sin(x)}[/mm]
Jetzt nochmal L'Hospital.
>
> Vielen Dank
>
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:29 Mi 01.02.2017 | | Autor: | Dom_89 |
Hallo fred,
$ [mm] \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{e^{x}-e^{-x}}{sin(x)} [/mm] $ = [mm] \bruch{e^{x}+e^{-x}}{cos(x)} [/mm] = 2
so richtig?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:35 Mi 01.02.2017 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Hallo fred,
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{e^{x}-e^{-x}}{sin(x)}[/mm] =
> [mm]\bruch{e^{x}+e^{-x}}{cos(x)}[/mm] = 2
>
> so richtig?
>
Das Ergebnis stimmt, die Notation leider nicht.
Du hast:
[mm] \limes_{x\to0}\left(\frac{e^{x}-e^{-x}}{\sin(x)}\right)
[/mm]
Da dieser Ausdruch die undefinierte Form [mm] \frac{0}{0} [/mm] hat, kannst du l'Hospital anwenden, und bekommst:
[mm] \limes_{x\to0}\frac{e^{x}-e^{-x}}{\sin(x)}=\limes_{x\to0}\frac{e^{x}+e^{-x}}{\cos(x)}=\frac{e^{0}+e^{0}}{\cos(0)}=2
[/mm]
Marius
|
|
|
| |
|
Hiho,
> Zunächst habe ich das Integral gelöst:
das ist ein völlig unnötiger Schritt und kostet nur Zeit.
Du erkennst bereits im Ausgangsausdruck, dass du L'Hospital anwenden kannst.
Verwende den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, der dir ebenso liefert:
$ [mm] \limes_{x\rightarrow0}\bruch{\integral_{0}^{x}{(e^{t}-e^{-t}) dt}}{1-cos(x)} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow0}\bruch{\left(\integral_{0}^{x}{(e^{t}-e^{-t}) dt\right)'}}{\left(1-cos(x)\right)'} [/mm] = [mm] \lim_{x\to 0} \frac{e^x - e^{-x}}{\sin(x)}$
[/mm]
> Dann geht es an den Grenzwert:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow0} \bruch{e^{x}+e^{-x}-2}{1-cos(x)}[/mm] =
> [mm]\bruch{e^{x}+e^{-x}}{sin(x)}[/mm] = 0
Du vergisst (bei deiner neuen Frage auch wieder) immer das [mm] $\lim$-Zeichen [/mm] nach der Gleichung, ohne dieses macht das jedoch kein Sinn und gibt dir nur Punktabzüge in einer Klausur.
Achte drauf!
Gruß,
Gono
|
|
|
|
