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Grenzwert mit Integral: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:10 Mi 01.02.2017
Autor: Dom_89

Aufgabe
Berechne den Grenzwert von

[mm] \limes_{x\rightarrow0}\bruch{\integral_{0}^{x}{(e^{t}-e^{-t}) dt}}{1-cos(x)} [/mm]

Hallo,

hier einmal mein Lösungsvorschlag:

[mm] \limes_{x\rightarrow0}\bruch{\integral_{0}^{x}{(e^{t}-e^{-t}) dt}}{1-cos(x)} [/mm]

Zunächst habe ich das Integral gelöst:

[mm] \integral_{0}^{x}{(e^{t}-e^{-t}) dt} [/mm] = [mm] [e^{t}+e^{-t}]_{0}^{x} [/mm] = [mm] e^{x}+e^{-x}-2 [/mm]

Dann geht es an den Grenzwert:

[mm] \limes_{x\rightarrow0} \bruch{e^{x}+e^{-x}-2}{1-cos(x)} [/mm] = [mm] \bruch{e^{x}+e^{-x}}{sin(x)} [/mm] = 0

Stimmt das so?

Vielen Dank



        
Bezug
Grenzwert mit Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:22 Mi 01.02.2017
Autor: fred97


> Berechne den Grenzwert von
>  
> [mm]\limes_{x\rightarrow0}\bruch{\integral_{0}^{x}{(e^{t}-e^{-t}) dt}}{1-cos(x)}[/mm]
>  
> Hallo,
>  
> hier einmal mein Lösungsvorschlag:
>  
> [mm]\limes_{x\rightarrow0}\bruch{\integral_{0}^{x}{(e^{t}-e^{-t}) dt}}{1-cos(x)}[/mm]
>  
> Zunächst habe ich das Integral gelöst:
>  
> [mm]\integral_{0}^{x}{(e^{t}-e^{-t}) dt}[/mm] =
> [mm][e^{t}+e^{-t}]_{0}^{x}[/mm] = [mm]e^{x}+e^{-x}-2[/mm]
>  
> Dann geht es an den Grenzwert:
>  
> [mm]\limes_{x\rightarrow0} \bruch{e^{x}+e^{-x}-2}{1-cos(x)}[/mm] =
> [mm]\bruch{e^{x}+e^{-x}}{sin(x)}[/mm] = 0
>  
> Stimmt das so?

nein. Wenn Du den Grenzwert [mm]\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{e^{x}+e^{-x}-2}{1-cos(x)}[/mm] mit L'Hospital berechnest, so ergibt das

[mm]\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{e^{x}-e^{-x}}{sin(x)}[/mm]

Jetzt nochmal L'Hospital.


>  
> Vielen Dank
>  
>  


Bezug
                
Bezug
Grenzwert mit Integral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:29 Mi 01.02.2017
Autor: Dom_89

Hallo fred,

$ [mm] \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{e^{x}-e^{-x}}{sin(x)} [/mm] $ = [mm] \bruch{e^{x}+e^{-x}}{cos(x)} [/mm] = 2

so richtig?


Bezug
                        
Bezug
Grenzwert mit Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:35 Mi 01.02.2017
Autor: M.Rex

Hallo

> Hallo fred,

>

> [mm]\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{e^{x}-e^{-x}}{sin(x)}[/mm] =
> [mm]\bruch{e^{x}+e^{-x}}{cos(x)}[/mm] = 2

>

> so richtig?

>

Das Ergebnis stimmt, die Notation leider nicht.
Du hast:
[mm] \limes_{x\to0}\left(\frac{e^{x}-e^{-x}}{\sin(x)}\right) [/mm]
Da dieser Ausdruch die undefinierte Form [mm] \frac{0}{0} [/mm] hat, kannst du l'Hospital anwenden, und bekommst:
[mm] \limes_{x\to0}\frac{e^{x}-e^{-x}}{\sin(x)}=\limes_{x\to0}\frac{e^{x}+e^{-x}}{\cos(x)}=\frac{e^{0}+e^{0}}{\cos(0)}=2 [/mm]

Marius

Bezug
        
Bezug
Grenzwert mit Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:33 Mi 01.02.2017
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Zunächst habe ich das Integral gelöst:

das ist ein völlig unnötiger Schritt und kostet nur Zeit.
Du erkennst bereits im Ausgangsausdruck, dass du L'Hospital anwenden kannst.
Verwende den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, der dir ebenso liefert:
$ [mm] \limes_{x\rightarrow0}\bruch{\integral_{0}^{x}{(e^{t}-e^{-t}) dt}}{1-cos(x)} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow0}\bruch{\left(\integral_{0}^{x}{(e^{t}-e^{-t}) dt\right)'}}{\left(1-cos(x)\right)'} [/mm] = [mm] \lim_{x\to 0} \frac{e^x - e^{-x}}{\sin(x)}$ [/mm]

> Dann geht es an den Grenzwert:
>  
> [mm]\limes_{x\rightarrow0} \bruch{e^{x}+e^{-x}-2}{1-cos(x)}[/mm] =
> [mm]\bruch{e^{x}+e^{-x}}{sin(x)}[/mm] = 0

Du vergisst (bei deiner neuen Frage auch wieder) immer das [mm] $\lim$-Zeichen [/mm] nach der Gleichung, ohne dieses macht das jedoch kein Sinn und gibt dir nur Punktabzüge in einer Klausur.
Achte drauf!

Gruß,
Gono

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