Grenzwert mit L’Hospital < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:17 Fr 25.12.2009 | | Autor: | johnyan |
[mm] L(x)=\bruch{cosh(x)}{sinh(x)}-\bruch{1}{x}, [/mm] x>0
Man soll untersuchen, was der Grenzwert L in 0 ist. Also was
[mm] \limes_{x\searrow0}L(x) [/mm] ist.
Der Prof hat als Lösung folgendes aufgeschrieben, was ich leider nicht ganz nachvollziehe.
[mm] L(x)=\bruch{cosh(x)}{sinh(x)}-\bruch{1}{x}=\bruch{x*cosh(x)-sinh(x)}{x*sinh(x)} [/mm] (also dieser Schritt ist mir klar)
[mm] \limes_{x\searrow0}L(x)=\limes_{x\searrow0}\bruch{cosh(x)+x*sinh(x)-cosh(x)}{sinh(x)+x*cosh(x)}=\limes_{x\searrow0}\bruch{sinh(x)+x*cosh(x)}{cosh(x)+cosh(x)+x*sinh(x)}=0
[/mm]
Das Ganze war ein Beispiel im Rahmen von der Regel von L'Hospital, die anderen 4 Beispiele aus der Vorleseung verstehe ich alle, nur das hier nicht. Kann mir jemand diese Umformungen erklären?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> [mm]L(x)=\bruch{cosh(x)}{sinh(x)}-\bruch{1}{x},[/mm] x>0
> Man soll untersuchen, was der Grenzwert L in 0 ist. Also
> was
> [mm]\limes_{x\searrow0}L(x)[/mm] ist.
>
> Der Prof hat als Lösung folgendes aufgeschrieben, was ich
> leider nicht ganz nachvollziehe.
>
> [mm]L(x)=\bruch{cosh(x)}{sinh(x)}-\bruch{1}{x}=\bruch{x*cosh(x)-sinh(x)}{x*sinh(x)}[/mm]
> (also dieser Schritt ist mir klar)
Weil für x=0 Zähler und Nenner verschwinden, kann man
L'Hospital anwenden, also Zähler und Nenner ableiten.
Man braucht sinh'=cosh , cosh'=sinh sowie die Produktregel.
Dies wird nun getan.
> [mm] $\limes_{x\searrow0}L(x)=\limes_{x\searrow0}\ \bruch{cosh(x)+x*sinh(x)-cosh(x)}{sinh(x)+x*cosh(x)}$
[/mm]
Das kann man zusammenfassen zu: [mm] \limes_{x\searrow0}\ \bruch{x*sinh(x)}{sinh(x)+x*cosh(x)}
[/mm]
Da für x=0 immer noch Zähler=Nenner=0, kann man den
Term erneut "hospitalisieren"  :
[mm] $\limes_{x\searrow0}\ \bruch{sinh(x)+x*cosh(x)}{cosh(x)+cosh(x)+x*sinh(x)}$
[/mm]
Jetzt endlich hat man einen Term, dessen Nenner für
x=0 nicht verschwindet. Setzt man x=0 ein, erhält
man
[mm] $\frac{0+0*1}{1+1+0*0}\ [/mm] =\ 0$
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:55 Fr 25.12.2009 | | Autor: | johnyan |
VIELEN DANK für die super schnelle Antwort!!!
Ich habe wohl vergessen, dass man den Zähler und Nenner EINZELN ableiten muss und habe verzweifelt versucht, die Quotientenregel anzuwenden :P
Jetzt mit einzeln ableiten ist es klar.
Man muss also immer solange "hospitalisieren", bis der Nenner nicht mehr Null ist?
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Hallo, es darf kein unbestimmter Ausdruck der Form [mm] \bruch{0}{0} [/mm] entstehen, was bedeuten kann, L'Hospital mehrfach anzuwenden, bedenke auch, die Division durch Null ist nicht definiert, Steffi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:12 Fr 25.12.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> VIELEN DANK für die super schnelle Antwort!!!
>
> Ich habe wohl vergessen, dass man den Zähler und Nenner
> EINZELN ableiten muss und habe verzweifelt versucht, die
> Quotientenregel anzuwenden :P
>
> Jetzt mit einzeln ableiten ist es klar.
>
> Man muss also immer solange "hospitalisieren"
Du musst nur darauf acchten, ob du jedesmal den Satz des L'Hospital wieder anwenden darfst, nachdem du ihm verwandt hast.
> , bis der Nenner nicht mehr Null ist?
Dazu hat steffi dir ja schon Infos gegeben.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:21 Fr 25.12.2009 | | Autor: | johnyan |
Aso, wenn ich die Regel richtig verstanden habe, darf man L'Hospital immer nur dann anwenden, wenn man so eine Situation wie 0/0, oder [mm] \pm\infty/\pm\infty [/mm] hat.
Das heißt, ich wende die Regel immer solange bei einem Ausdruck an, bis keine der oben genannten Situation mehr vorliegt? Und dass der Nenner nicht 0 sein darf, ist ja grundlegend, sonst ist doch Weltuntergang :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:26 Fr 25.12.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Aso, wenn ich die Regel richtig verstanden habe, darf man
> L'Hospital immer nur dann anwenden, wenn man so eine
> Situation wie 0/0, oder [mm]\pm\infty/\pm\infty[/mm] hat.
>
> Das heißt, ich wende die Regel immer solange bei einem
> Ausdruck an, bis keine der oben genannten Situation mehr
> vorliegt?
So ist es.
> Und dass der Nenner nicht 0 sein darf, ist ja grundlegend, sonst ist doch
> Weltuntergang :)
Ja, das ist so
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:42 Fr 25.12.2009 | | Autor: | johnyan |
was mir gerade einfällt, es kann doch sein, dass nach dem Anwenden von L'Hospital der Ausdruck irgendwie x/0 beim Grenzwert wird, oder? wie macht man dann weiter?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:45 Fr 25.12.2009 | | Autor: | M.Rex |
> was mir gerade einfällt, es kann doch sein, dass nach dem
> Anwenden von L'Hospital der Ausdruck irgendwie x/0 beim
> Grenzwert wird, oder? wie macht man dann weiter?
Dann muss man sich dann ein anderes Verfahren suchen, den Grenzwert zu bestimmen, ob man dann an der Ausgangsfunktion oder an der l'Hospitalisierten Funktion ist egal.
Marius
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