Grenzwert mit Parameter < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:17 Mi 03.01.2007 | | Autor: | Torboe |
| Aufgabe | f a (x) = 2x +a /x+2a
a > 0
R \ {-2a} |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich soll den Grenzwert der Funktion berechnen.
Das beudetet doch, dass ich mir überlegen muss welchen Wert a annehmen kann.
Da a > 0 sein muss, kann es z.B. 1 sein oder 1 000 000.
Wenn a =1 ist, kommt doch als Grenzwert 2 raus. Und wenn a= 1 000 000 ist kommt als Grenzwert 1 raus. Oder??
Das ist jetzt so meine persönliche Überlegung, aber ich weiß nicht wie ich das schreiben soll, weil wir hatten das noch nie in der Form.
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Hallo,
also das ist ganz einfach. Wir klammern einfach oben und unten das x aus und kürzen:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{2x+a}{x+2a}
[/mm]
[mm] =\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{x(2+\bruch{a}{x})}{x(1+\bruch{2a}{x})}
[/mm]
[mm] =\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{2+\bruch{a}{x}}{1+\bruch{2a}{x}}
[/mm]
[mm] \bruch{2a}{x} [/mm] bzw. [mm] \bruch{a}{x} [/mm] sind Nullfolgen, also geht die gesamte Folge gegen 2!
[mm]
=\bruch{2+0}{1+0}
=2[/mm]
Das gilt auch für a=1.000.000. Setze es einfach ein, es kommt dasselbe raus. Das gilt sogar für [mm]a\le 0[/mm]. Alles klar?
Viele Grüße
Daniel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:39 Mi 03.01.2007 | | Autor: | Torboe |
danke erstmal für die schnelle antwort!
was ich aber leider noch nicht verstehe ist das mit dem a. es müsste doch im grunde ohne ausklammer das selbe rauskommen wie mit, oder nicht?
und bei: a / x
wenn hier a = 1 000 000 ist und x auch 1 000 000, dann kommt doch hier nicht 0, sondern 1 raus oder nicht?
und bei: 2a / x
wenn hier a = 1 000 000 ist und x auch 1 000 000, dann kommt doch hier nicht 0, sondern 2 raus ?!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:01 Do 04.01.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo Torboe
> danke erstmal für die schnelle antwort!
>
> was ich aber leider noch nicht verstehe ist das mit dem a.
> es müsste doch im grunde ohne ausklammer das selbe
> rauskommen wie mit, oder nicht?
ja, natürlich, aber dann sieht man nicht was passiert, denn wenn x gegen unendlich geht, weiss man ja dann nur, dass der Zähler und der Nenner gegen unendlich geht!
> und bei: a / x
> wenn hier a = 1 000 000 ist und x auch 1 000 000, dann
> kommt doch hier nicht 0, sondern 1 raus oder nicht?
> und bei: 2a / x
> wenn hier a = 1 000 000 ist und x auch 1 000 000, dann
> kommt doch hier nicht 0, sondern 2 raus ?!
Das ist richtig, aber x hat ja nicht einen festen großen Wert, sondern es geht gegen unendlich, wird also beliebig groß, und wenn a 10 Nullen hinter der 1 hat, stell dir x mit 1000 Nullen hinter der 1 vor, dann ist a/x fast 0, aber x kann ja noch viel größer werden, deshalb sagt man a/x geht gegen 0 wenn x gegen Unendlich geht.
Was du überlegt hast ist dass die funktion mit a=1000 bei x=1000 noch nicht nahe an 2 ist, die mit a=1 ist aber schon nahe bei 2. das ist richtig, aber spielt für x gegen unendlich keine Rolle mehr.
Ich hoff, jetzt ist es klar.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:15 Do 04.01.2007 | | Autor: | Torboe |
ok, DANKE! habs vom sinn her soweit glaub verstanden. ich darf da nicht so sehr darüber nachdenken, was für fälle alle in frage kommen könnten, sondern muss mir einfach vorstellen, dass x immer VIIIEL größer wie a ist.
aber sorry, den satz hier versteh ich nicht:
> ja, natürlich, aber dann sieht man nicht as > passiert, denn wenn x gegen unendlich geht, > weiss man ja dann nur, dass der Zähler und > der Nenner gegen unendlich geht!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:15 Do 04.01.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn man nicht Zähler und Nenner durch x teilt, wie soll man dann sehen, was passiert, wenn x seeehhhr gross wird?
Dann wird doch erst mal nur der Zähler und Nenner seeehhhr groß und weiter kann man dann nix sagen, denn was gross/gross ist???
Aber dass 1/x winzig wird, wenn x gross wird sieht man direkt. Deshalb macht man diese Umformung immer! Du kannst es einen mathematischen "Trick" nennen, an den man immer denken sollte, wenn man x bei einem Bruch gegen unendlich gehen lässt.
Gruss leduart
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