Grenzwert mit c=konst. < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:07 Do 01.04.2010 | | Autor: | Bishop |
| Aufgabe | | [mm] \limes_{h\rightarrow\ 0}\bruch{(x+h)^5-x^5}{h} [/mm] (x = konst.) |
Hallo zusammen,
ich habe obige Aufgabe zu lösen und keine Ahnung wie ich das angehen soll. Mich verwirrt das x=konst. hier.
Meine Überlegung bis jetzt war
- [mm] (x+h)^5 [/mm] ausmultiplizieren und zusammenfassen
- h ausklammern und kürzen
Soweit richtig? Was aber mache ich mit dem x=konst.?
Gruß
Bishop
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> [mm]\limes_{h\rightarrow\ 0}\bruch{(x+h)^5-x^5}{h}[/mm] (x =
> konst.)
> Hallo zusammen,
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> ich habe obige Aufgabe zu lösen und keine Ahnung wie ich
> das angehen soll. Mich verwirrt das x=konst. hier.
>
> Meine Überlegung bis jetzt war
> - [mm](x+h)^5[/mm] ausmultiplizieren und zusammenfassen
> - h ausklammern und kürzen
>
> Soweit richtig? Was aber mache ich mit dem x=konst.?
Hallo,
Du beschreibst sehr schön und richtig, was zu tun ist.
Vielleicht machst Du es einfach mal? Dann könnte man sehen, wieso Du Probleme mit dem x hast - ich sehe das Problem nämlich nicht.
x=const bedeutet, daß das x hier wie eine feste Zahl zu behandeln ist.
Du kannst den Grenzwert ja auch erstmal mit x=3 ausrechnen, vielleicht entspannt es Dich...
Oder schreib statt x lieber [mm] x_0, [/mm] um zu kennzeichnen, daß das x beliebig, aber fest ist.
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:47 Do 01.04.2010 | | Autor: | gfm |
Dieses x=const ist hier und auch vielen anderen Fällen ist wie folgt zu verstehen:
Du sollst eine Funktion f(x,y) untersuchen auf ihr Verhalten, wenn y sich ändert und dabei bei der Auswertung der Veränderung jewils x immer denselben Wert hat.
Denn Du könntest ja auch x und y gleichzeitig ändern und dabei ergibt sich i.A. etwas anderes.
In diesem Fall hier suchst Du die Steigung der Tangenten an die Kurve zu f(x) an der Stelle x. Dazu legst Du durch die Punkte (x,f(x)) und (x+h,f(x+h)) eine Gerade, rechnest Ihre Steigung
(f(x+h)-f(x))/((x+h)-x)=(f(x+h)-f(x))/h
aus und versuchst herauszufinden, was passiert, wenn der variable Punkt (x+h,f(x+h)) sich dem konstanten (x,f(x)) beliebig dicht nähert:
[mm] \limes_{h\to 0} [/mm] (f(x+h)-f(x))/h=? (x=const)
LG
gfm
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:02 Do 01.04.2010 | | Autor: | karma |
Hallo und guten Morgen,
alles ist schon gesagt,
ich formuliere nur um.
Eventuell ist die Angabe $x=konst.$ als Hilfe gedacht,
sie kann aber verwirren,
da Sie "doppelt gemoppelt" ist.
Der Grenzwert betrifft $h$,
nicht $x$,
während des Grenzwertprozesses ist $x=konst.$.
Klar.
Konkret folgt:
[mm] $\limes_{h\rightarrow 0}(5*x^{4}+10*h*x^{3}+10*h^{2}*x^{2}+5*h^{3}*x+h^{4})=5*x^{4}$
[/mm]
Schönen Gruß
Karsten
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:38 Do 01.04.2010 | | Autor: | Bishop |
| Aufgabe | [mm] \limes_{h\rightarrow\ 0}\bruch{x^5+5x^4h+10x^3h^2+10x^2h^3+5xh^4+h^5-x^5}{h} [/mm] | h ausklammern
[mm] \limes_{h\rightarrow\ 0}\bruch{h(x^5+5x^4+10x^3h+10x^2h^2+5xh^3+h^4-x^5)}{h} [/mm] | mit h kürzen
[mm] \limes_{h\rightarrow\ 0} x^5+5x^4+10x^3h+10x^2h^2+5xh^3+h^4-x^5 [/mm] | zusammenfassen
[mm] \limes_{h\rightarrow\ 0} 5x^4+10x^3h+10x^2h^2+5xh^3+h^4 [/mm] | h auf 0 setzen
[mm] \limes_{h\rightarrow\ 0} 5x^4
[/mm]
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Also ersteinmal Danke für die vielen und vorallem schnellen Antworten.
Ich habe die Aufgabe jetzt mal für mich selbst ausgerechnet und komme auf das o.g. Ergebnis.
Stimmt das soweit?
@Roadrunner: Danke für den Hinweis. Hab vor lauter ausklammern den Rest des Terms vergessen 
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Hallo Bishop!
> [mm]\limes_{h\rightarrow\ 0}\bruch{x^5+5x^4h+10x^3h^2+10x^2h^3+5xh^4+h^5}{h}[/mm] | h ausklammern
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Hier fehlt am Ende im Zähler noch [mm] $-x^5$ [/mm] .
Denn erst nach dem Zusammenfassen kannst Du dann auch wirklich $h_$ ausklammern und weiter rechnen ...
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:07 Do 01.04.2010 | | Autor: | karma |
Hallo und guten Tag!
> [mm]\limes_{h\rightarrow\ 0}\bruch{x^5+5x^4h+10x^3h^2+10x^2h^3+5xh^4+h^5-x^5}{h}[/mm]
> | h ausklammern
>
h ausklammern ist die richtige Strategie;
[mm] $x^{5}$ [/mm] besitzt an dieser Stelle keinen Faktor $h$;
also zuertst [mm] $x^{5}$ [/mm] neutralisieren [mm] ($x^{5}\ldots\ -x^{5}=0$) [/mm] und danach kann man $h$ ausklammern.
Schönen Gruß
Karsten
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:57 Mo 12.04.2010 | | Autor: | Bishop |
Hallo Karsten,
erstmal sorry für die späte Anwort. Du hast natürlich recht. Ich hatte das automatisch schon gemacht. Aber danke für den Hinweis!
Gruß
Bishop
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