Grenzwert mit l'Hospital < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:06 Do 11.02.2010 | | Autor: | squeedi |
| Aufgabe | Berechnen Sie den Grenzwert:
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} \left(x^{2} + e^{x^{2}}\right)^{\bruch{1}{x^{2}}} [/mm] |
Hallo!
Mal wieder häng ich bei den Grenzwerten fest. Ich bin folgendermaßen hier ran gegangen:
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} x^{\bruch{2}{x^{2}}} [/mm] + [mm] e^{\bruch{x^{2}}{x^{2}}}
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} x^{\bruch{2}{x^{2}}} [/mm] + [mm] e^{1}
[/mm]
hier bleib ich nun stecken. ist die lösung jetzt e oder ist die gleichung nicht lösbar, weil man im exponent von x durch 0 teilt?
oder lieg ich grad ganz falsch?
gruß squeedi
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Christian,
> Berechnen Sie den Grenzwert:
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> [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0} \left(x^{2} + e^{x^{2}}\right)^{\bruch{1}{x^{2}}}[/mm]
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> Hallo!
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> Mal wieder häng ich bei den Grenzwerten fest. Ich bin
> folgendermaßen hier ran gegangen:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0} x^{\bruch{2}{x^{2}}}[/mm] + [mm]e^{\bruch{x^{2}}{x^{2}}}[/mm]
Was genau machst du hier und warum? Du kannst doch nicht einfach summandenweise exponieren ...
Da graust es mir ja.
Demnach würdest du auch sagen: [mm] $(a+b)^2=a^2+b^2$ [/mm] ??
Das kann ja in der Schule mal passieren, aber im Studium???
Mannomann ...
In der Aufgabenstellung steht doch schon der Hinweis "de l'Hôpital"
Für $a>0$ ist [mm] $a^b=e^{\ln\left(a^b\right)}=e^{b\cdot{}\ln(a)}$
[/mm]
Hier kannst du also schreiben:
[mm] $\left(x^2+e^{x^2}\right)^{\frac{1}{x^2}} [/mm] \ = \ [mm] e^{\frac{1}{x^2}\cdot{}\ln\left(x^2+e^{x^2}\right)}$
[/mm]
Nun beachte, dass die Exponentialfunktin stetig ist, dass also gilt:
[mm] $\lim\limits_{x\to x_0}e^{f(x)}=e^{\lim\limits_{x\to x_0}f(x)}$
[/mm]
Greife dir also den Exponenten heraus und schaue, was der für [mm] $x\to [/mm] 0$ so treibt.
Dazu kannst du die Regel von de l'Hôpital benutzen, denn bei direktem Grenzübergang erhältst du den unbestimmten Ausdruck [mm] $\frac{0}{0}$
[/mm]
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> [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0} x^{\bruch{2}{x^{2}}}[/mm] + [mm]e^{1}[/mm]
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> hier bleib ich nun stecken. ist die lösung jetzt e oder
> ist die gleichung nicht lösbar, weil man im exponent von x
> durch 0 teilt?
> oder lieg ich grad ganz falsch?
>
> gruß squeedi
>
LG
schachuzipus
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:47 Do 11.02.2010 | | Autor: | squeedi |
autsch, mehr kann man da wohl nich sagen.....
danke für den Hinweis, habe als Lösung [mm] e^{2} [/mm] .
gruß squeedi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:49 Do 11.02.2010 | | Autor: | fred97 |
> autsch, mehr kann man da wohl nich sagen.....
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> danke für den Hinweis, habe als Lösung [mm]e^{2}[/mm] .
Stimmt
FRED
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> gruß squeedi
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