Grenzwert mit l'Hospital < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:51 Sa 25.02.2012 | | Autor: | dudu93 |
| Aufgabe | Ermitteln Sie den Grenzwert!
[mm] \limes_{x \to 2} \bruch{1}{ln(x-1)} [/mm] - [mm] \bruch{1}{x-2} [/mm] |
Hallo. Ich komme bei der Aufgabe nicht auf das richtige Ergebnis.
Zuerst habe ich auf den Hauptnenner gebracht:
[mm] \limes_{x \to 2} \bruch{(x-2)-ln(x-1)}{ln(x-1)(x-2)} [/mm]
"0/0" -> also l'hospital anwenden, Zähler und Nenner separat ableiten:
= [mm] \limes_{x \to 2} \bruch{(x-2)-ln(x-1)}{ln(x^2-3x+2)} [/mm]
= [mm] \limes_{x \to 2} \bruch{1-\bruch{1}{(x-2)} }{\bruch{1}{(x^2-3x+2)}*2x-3 } [/mm]
= [mm] \limes_{x \to 2} \bruch{(x-1)-1}{(x-1)} [/mm] : [mm] \bruch{2x-3}{x^2-3x+2} [/mm]
= [mm] \limes_{x \to 2} \bruch{(x-2}{(x-1)} [/mm] * [mm] \bruch{x^2-3x+2}{(2x-3)} [/mm]
= [mm] \limes_{x \to 2} \bruch{x^3-5x^2+8x-4}{2x^2-5x+3} [/mm]
Und wenn ich dann für x 2 einsetze, kommt 0:1 raus. Der GW wäre 0.
Doch in der Musterlösung steht 1/2.
Weiß jemand, wo der Fehler steckt?
LG
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Hallo dudu93,
> Ermitteln Sie den Grenzwert!
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> [mm]\limes_{x \to 2} \bruch{1}{ln(x-1)}[/mm] - [mm]\bruch{1}{x-2}[/mm]
> Hallo. Ich komme bei der Aufgabe nicht auf das richtige
> Ergebnis.
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> Zuerst habe ich auf den Hauptnenner gebracht:
>
>
> [mm]\limes_{x \to 2} \bruch{(x-2)-ln(x-1)}{ln(x-1)(x-2)}[/mm]
>
> "0/0" -> also l'hospital anwenden, Zähler und Nenner
> separat ableiten:
>
> = [mm]\limes_{x \to 2} \bruch{(x-2)-ln(x-1)}{ln(x^2-3x+2)}[/mm]
Beachte, dass (x-2) nicht unter dem [mm] \ln [/mm] steht! Im Nenner hast du [mm] (x-2)\ln(x-1). [/mm] Produktregel anwenden.
>
> = [mm]\limes_{x \to 2} \bruch{1-\bruch{1}{(x-2)} }{\bruch{1}{(x^2-3x+2)}*2x-3 }[/mm]
Es gilt [mm] (\ln(x-1))'=\frac{1}{x-1}. [/mm]
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> = [mm]\limes_{x \to 2} \bruch{(x-1)-1}{(x-1)}[/mm] : [mm]\bruch{2x-3}{x^2-3x+2}[/mm]
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> = [mm]\limes_{x \to 2} \bruch{(x-2}{(x-1)}[/mm] * [mm]\bruch{x^2-3x+2}{(2x-3)}[/mm]
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> = [mm]\limes_{x \to 2} \bruch{x^3-5x^2+8x-4}{2x^2-5x+3}[/mm]
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> Und wenn ich dann für x 2 einsetze, kommt 0:1 raus. Der GW wäre 0.
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> Doch in der Musterlösung steht 1/2.
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> Weiß jemand, wo der Fehler steckt?
>
> LG
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LG
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