Grenzwert p(x)/exp(x) < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm]p : R \to \IR[/mm] ein Polynom des Grades [mm]n \in \IN[/mm], d. h. eine Funktion der Form
[mm]p(x) := \alpha_nx^n + \ldots + \alpha_1x + \alpha_0[/mm]
Dabei sind [mm]\alpha_0, \ldots, \alpha_n \in \IR[/mm] fest gewählt und [mm]\alpha_n \neq 0[/mm].
Zeigen Sie:
[mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{p(x)}{exp(x)} = 0[/mm] und somit auch [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{p(x)}{exp(x^k)} = 0 \qquad (k=2,3,4,\ldots)[/mm] |
Hallo zusammen,
im Grunde habe ich schon einen (hoffentlich richtigen) Lösungsweg für diese Aufgabe gefunden – mein Problem ist aber, ihn auf ein allgemein gehaltenes Polynom anzuwenden.
Generell würde ich so lange l'Hospital anwenden, bis p(x) nur noch eine Konstante ist. exp(x) würde dabei ja ohnehin immer exp(x) bleiben.
Am Ende würde ich dann also den Grenzwert von einer Konstante durch exp(x) betrachten, das würde dann immer auf 0 als Grenzwert hinauslaufen ("Konstante durch Unendlich ist gleich Null").
Kann/muss ich das Polynom hier umschreiben, um mit l'Hospital arbeiten zu können oder sollte ich einen ganz anderen Ansatz wählen?
Viele Grüße
Patrick
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:51 Mo 10.12.2012 | | Autor: | ullim |
Hi,
dürft Ihr die Regel von l'Hospital anwenden? Wenn ja führt die zum Ziel.
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Hi Ulli,
> dürft Ihr die Regel von l'Hospital anwenden? Wenn ja
> führt die zum Ziel.
ja, wir dürfen l'Hospital anwenden.
Aber was muss ich hier mit dem Polynom machen, damit ich l'Hospital überhaupt anwenden kann? Brauche ich da die Reihendarstellung eines Polynoms?
Mit z. B. [mm]p(x) = 2x^4+5x^3+2x^2+8x+4[/mm] käme ich ja klar, aber p(x) als allgemeine Form …
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:22 Mo 10.12.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo Patrick,
da bin ich zu früh auf den falschen Knopf gekommen. Siehe folgende Antwort.
Grüße
rev
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Hallo Patrick,
auch wenns allgemein muss, muss es ja nicht gleich kompliziert werden. 
> ja, wir dürfen l'Hospital anwenden.
> Aber was muss ich hier mit dem Polynom machen, damit ich
> l'Hospital überhaupt anwenden kann? Brauche ich da die
> Reihendarstellung eines Polynoms?
Du weißt doch "alles" über die höchste Potenz des Polynoms, [mm] \alpha_n x^n. [/mm] Mehr ist auch nicht nötig.
Da wirst Du genau n-mal l'Hospital anwenden müssen.
> Mit z. B. [mm]p(x) = 2x^4+5x^3+2x^2+8x+4[/mm] käme ich ja klar,
> aber p(x) als allgemeine Form …
Naja, mit [mm] $p(x)=\alpha_n x^n+Dingenskirchen$ [/mm] gehts doch auch. Hauptsache "Dingenskirchen" alias q(x) hat einen niedrigeren Grad als p(x), aber das darfst Du Dir einfach so zurechtdefinieren.
Grüße
reverend
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Hallo reverend,
> Du weißt doch "alles" über die höchste Potenz des
> Polynoms, [mm]\alpha_n x^n.[/mm] Mehr ist auch nicht nötig.
>
> Da wirst Du genau n-mal l'Hospital anwenden müssen.
das ist genau das, was mich so irritiert: Brauche ich hier jetzt also die n-te Ableitung?
>
> > Mit z. B. [mm]p(x) = 2x^4+5x^3+2x^2+8x+4[/mm] käme ich ja klar,
> > aber p(x) als allgemeine Form …
>
> Naja, mit [mm]p(x)=\alpha_n x^n+Dingenskirchen[/mm] gehts doch auch.
> Hauptsache "Dingenskirchen" alias q(x) hat einen
> niedrigeren Grad als p(x), aber das darfst Du Dir einfach
> so zurechtdefinieren.
[mm]p'(x) = n*\alpha_nx^{n-1} + \ldots + \alpha_1[/mm]
[mm]p''(x) = n(n-1)*\alpha_nx^{n-2} + \ldots + \alpha_2[/mm]
Das geht dann doch immer so weiter. Ich frag das jetzt einfach mal ganz blöd: Wie komme ich da zum Ende?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:50 Mo 10.12.2012 | | Autor: | ullim |
Hi,
wenn Du das weiter fortführst, steht da n*(n-1)*(n-2)* ... * [mm] 1*a_n
[/mm]
Kannst Du durch Induktion beweisen. Außerdem gibts dafür auch eine abkürzende Schreibweise.
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Hallo nochmals,
> wenn Du das weiter fortführst, steht da n*(n-1)*(n-2)* ...
> * [mm]1*a_n[/mm]
>
> Kannst Du durch Induktion beweisen. Außerdem gibts dafür
> auch eine abkürzende Schreibweise.
meinst Du damit eventuell den Binomialkoeffizienten?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:10 Di 11.12.2012 | | Autor: | ullim |
Hi,
eher die Fakultät.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:06 Di 11.12.2012 | | Autor: | Apfelchips |
(Sorry, das sollte natürlich eine Frage sein. Sie nächstes Posting.)
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Also [mm] (n!*a_n) [/mm] / exp(x) ? Wie aber soll ich hier den Zähler ableiten? Soweit ich weiß ist die Fakultät nicht differenzierbar.
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Hallo nochmal,
> Also [mm](n!*a_n)[/mm] / exp(x) ? Wie aber soll ich hier den Zähler
> ableiten? Soweit ich weiß ist die Fakultät nicht
> differenzierbar.
Wenn Du bis dahin abgeleitet hast, bist Du fertig. Da wird nicht mehr abgeleitet. Für [mm] x\to\infty [/mm] bleibt der Zähler konstant, der Nenner geht gegen Unendlich.
Übrigens wäre es aber auch kein Problem diese Funktion noch einmal abzuleiten (bei l'Hospital ja Zähler und Nenner getrennt voneinander!). Die Ableitung des Zählers nach dx ist doch einfach Null. Da wird keine Fakultät abgeleitet - das wäre ja nur der Fall, wenn Du nach dn ableiten würdest, und davon ist hier keine Rede.
Grüße
reverend
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Hallo reverend,
> > Also [mm](n!*a_n)[/mm] / exp(x) ? Wie aber soll ich hier den Zähler
> > ableiten? Soweit ich weiß ist die Fakultät nicht
> > differenzierbar.
>
> Wenn Du bis dahin abgeleitet hast, bist Du fertig. Da wird
> nicht mehr abgeleitet. Für [mm]x\to\infty[/mm] bleibt der Zähler
> konstant, der Nenner geht gegen Unendlich.
okay, das verstehe ich. Allerdings ist mir ehrlich gesagt nicht wirklich klar, wie ich überhaupt bis zu dieser Ableitung komme. Ich weiß, dass ich mich hier ein wenig im Kreis drehe …
Was ist [mm]n!*a_n[/mm] überhaupt genau? Von dem, was ich bisher dachte, müsste das die n-te Ableitung eines Polynoms sein.
Was wäre die Basis für einen Induktionsbeweis?
>
> Übrigens wäre es aber auch kein Problem diese Funktion
> noch einmal abzuleiten (bei l'Hospital ja Zähler und
> Nenner getrennt voneinander!). Die Ableitung des Zählers
> nach dx ist doch einfach Null. Da wird keine Fakultät
> abgeleitet - das wäre ja nur der Fall, wenn Du nach dn
> ableiten würdest, und davon ist hier keine Rede.
Da hast Du absolut recht. Ich hatte in dem Moment gar nicht mehr im Blick, dass nach x abgeleitet wird.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:03 Di 11.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
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> Hallo reverend,
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> > > Also [mm](n!*a_n)[/mm] / exp(x) ? Wie aber soll ich hier den Zähler
> > > ableiten? Soweit ich weiß ist die Fakultät nicht
> > > differenzierbar.
> >
> > Wenn Du bis dahin abgeleitet hast, bist Du fertig. Da wird
> > nicht mehr abgeleitet. Für [mm]x\to\infty[/mm] bleibt der Zähler
> > konstant, der Nenner geht gegen Unendlich.
>
> okay, das verstehe ich. Allerdings ist mir ehrlich gesagt
> nicht wirklich klar, wie ich überhaupt bis zu dieser
> Ableitung komme. Ich weiß, dass ich mich hier ein wenig im
> Kreis drehe …
wenn Du's am Beispiel verstehst, solltest Du's eigentlich auch allgemein
verstehen:
Betrachte mal speziell
[mm] $$p(x)=\frac{-5}{7}*x^4+2x^3+3x^2+x+77$$
[/mm]
bzw. "spezieller und dennoch ein wenig allgemeiner"
[mm] $$p(x)=a_4*x^4+...+a_1*x+a_0=a_n*x^n+...+a_1*x+a_0\,.$$
[/mm]
Hier ist also [mm] $p(x)=a_n*x^n+...+a_0$ [/mm] mit speziell [mm] $n=4\,$ [/mm] (und wenn Du
willst, aber das musst Du nicht unbedingt machen, kannst Du auch für [mm] $a_4$
[/mm]
den speziellen Wert benutzen: [mm] $a_n=a_4:=\frac{-5}{7}\,$).
[/mm]
Und jetzt leg' mal los...
Ich zeig's Dir mal "beispielhaft", was ich meine: Für $n [mm] \ge [/mm] 2$ berechne ich
mal [mm] $p^{(2)}(x):=p''(x):=((p')')(x)\,,$ [/mm] und erkläre Dir einfach nur, wie ich
vom 'spezielleren' auf's allgemeine schließe:
[mm] $$p(x)=a_4*x^4+a_3*x^3+a_2*x^2+a_1*x+a_0=a_n*x^n+...+a_1*x+a_0$$
[/mm]
liefert
[mm] $$p\,'(x)=4*a_4*x^{3}+3*a_3*x^2+2*a_2*x+a_1=n*a_n*x^{n-1}+...+2*a_2x+a_1$$
[/mm]
und
[mm] $$p\,''(x)=4*3*a_4x^{2}+3*2*a_3x^1+2*1a_2=n*(n-1)*a_nx^{n-2}+...+3*2*a_3x+2*1*a_2$$
[/mm]
Prinzipiell machst Du ja genau das, wenn Du die Ableitungen rekursiv
berechnest...
Also: Schreibe einfach mal [mm] $p\,$ [/mm] für ein spezielles [mm] $n\,$ [/mm] hin, oben war etwa
[mm] $n=4\,,$ [/mm] rechne dann für das spezielle [mm] $n\,$ [/mm] ein bisschen rum. Damit
bekommst Du dann ein Gefühl, was da für 'allgemeines $n [mm] \in \IN_0$' [/mm]
passiert, und wenn Du das verstanden hast, sollte es nicht schwer sein,
dass dann allgemein hinzuschreiben. Das ist jetzt nicht wirklich ein Beweis,
aber so versteht man zum einen vielleicht besser, was Reverend da macht,
und zum anderen, was man vielleicht beweisen könnte:
So wäre es für die Aufgabe vielleicht nützlich, einfach per Induktion zu
zeigen:
Ist [mm] $p=p(x)\,$ [/mm] ein Polynom (eine Polynomfunktion) in [mm] $x\,$ [/mm] vom Grad
[mm] $n\,,$ [/mm] d.h.
[mm] $$p(x)=\sum_{k=0}^n a_k x^k \text{ für alle }x$$
[/mm]
wobei [mm] $a_n \not=0$ [/mm] fest ist, so gilt für die [mm] $n\,$-te [/mm] Ableitung von [mm] $p\,$ [/mm] -
im Zeichen [mm] $p^{(n)}$ [/mm] - sodann
[mm] $$p^{(n)}(x)=n!*a_n\,.$$
[/mm]
Natürlich braucht man bei der Aufgabe noch mehr, aber auch hier kann man
das Wesentliche in einen Induktionsbeweis verpacken:
Ist [mm] $p=p(x)\,$ [/mm] eine Polynomfunktion vom Grad [mm] $n\,,$ [/mm] so ist für jede
natürliche Zahl $1 [mm] \le [/mm] k [mm] \le [/mm] n$ dann die [mm] $k\,$-te [/mm] Ableitung von [mm] $p\,$ [/mm] - im
Zeichen [mm] $p^{(k)}$ [/mm] - eine Polynomfunktion vom Grad [mm] $n-k\,.$ [/mm] (Beachte
auch, dass konstante Polynomfunktionen den Grad [mm] $0\,$ [/mm] haben. Zudem
hat das Nullpolynom per Definitionem den Grad [mm] $-\infty\,.$ [/mm] Aber die
[mm] $n\,$-te [/mm] Ableitung von [mm] $p\,$ [/mm] wird niemals das Nullpolynom werden...)
Und nur, warum Du das 'mehr' brauchst: Du musst ja bei diesem
sukzessiven Ableiten immer begründen, dass die Voraussetzungen zur
Anwendung von de l'Hospital gegeben sind:
Oben sieht man etwa bei [mm] $p^{(2)}(x)\,,$ [/mm] dass [mm] $n*(n-1)*a_n\not=0$
[/mm]
ist - und es ist [mm] $p^{(2)}(x)=n*(n-1)*a_n*x^{n-2}+...+2*1*a_2$, [/mm] also ist
[mm] $p^{(2)}=p^{(2)}(x)\,$ [/mm] eine Polynomfunktion in [mm] $x\,$ [/mm] vom
Grad [mm] $n-2\,$ [/mm] ...
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:09 Fr 21.12.2012 | | Autor: | Apfelchips |
Hallo Marcel,
ich hab mich noch gar nicht für Deine ausführliche und detaillierte Antwort bedankt – vielen Dank dafür! Ich denke, das hat mir beim Verständnis wesentlich weitergeholfen.
Ich hab inzwischen die Korrektur meiner Lösung, die ich an Deine Tipps angelehnt habe (also u. a. mit vollständiger Induktion an die Sache herangehe). Mein Tutor hat das alles für richtig befunden, laut ihm ist der Induktionsbeweis aber nicht nötig. Ich könne annehmen, dass l'Hospital in jedem Schritt weiterhin angewendet werden kann und ich müsse auch nicht beweisen, dass [mm]p^{(n)}(x) = n!\alpha_n[/mm] gilt.
Jetzt hab ich die Aufgabe zwar über zwei DIN A4-Seiten gelöst, obwohl das theoretisch in drei, vier Zeilen machbar gewesen wäre, aber zum Verständnis hat mir die ausführliche Lösung dann, wie erwähnt, doch ziemlich geholfen. 
Gruß
Patrick
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:53 Fr 21.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Patrick,
> Hallo Marcel,
>
> ich hab mich noch gar nicht für Deine ausführliche und
> detaillierte Antwort bedankt – vielen Dank dafür! Ich
> denke, das hat mir beim Verständnis wesentlich
> weitergeholfen.
>
> Ich hab inzwischen die Korrektur meiner Lösung, die ich an
> Deine Tipps angelehnt habe (also u. a. mit vollständiger
> Induktion an die Sache herangehe). Mein Tutor hat das alles
> für richtig befunden, laut ihm ist der Induktionsbeweis
> aber nicht nötig. Ich könne annehmen, dass l'Hospital in
> jedem Schritt weiterhin angewendet werden kann und ich
> müsse auch nicht beweisen, dass [mm]p^{(n)}(x) = n!\alpha_n[/mm]
> gilt.
>
> Jetzt hab ich die Aufgabe zwar über zwei DIN A4-Seiten
> gelöst, obwohl das theoretisch in drei, vier Zeilen
> machbar gewesen wäre, aber zum Verständnis hat mir die
> ausführliche Lösung dann, wie erwähnt, doch ziemlich
> geholfen.
das ist gut - Du löst die Aufgabe ja nicht für den Tutor, sondern für Dich.
(Wenn auch 'gezwungermaßen', wobei das ja auch nicht ganz stimmt, weil
Du sicher schon freiwillig Mathe studierst - daher die Gänsefüßchen ).
Prinzipiell hast Du ja auch zwei Dinge gelernt:
1. Wie gehe ich bei der Aufgabe ganzu detailliert vor?
2. Was ist notwendig, wenn ich meine Lösung präsentieren will? (Letzteres
hängt aber auch vom 'Publikum' ab, bzw. von den
Anforderungen/Erwartungen desselben. ^^
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 06:50 Di 11.12.2012 | | Autor: | fred97 |
Noch ein Weg: für k [mm] \in \IN_0 [/mm] und x>0 ist
[mm] e^x> x^{k+1}.
[/mm]
Also:
[mm] \bruch{e^x}{x^k}>x.
[/mm]
Somit:
[mm] 0<\bruch{x^k}{e^x}<1/x.
[/mm]
FRED
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