Grenzwert rekursiver Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:51 Mo 14.01.2013 | | Autor: | marmik |
| Aufgabe | Es sei 0<a<1 und [mm] a_1:=1, a_{n+1}:=\bruch{a+a_{n}}{1+a_{n}} [/mm] für [mm] n\in\IN
[/mm]
Untersuchen Sie die rekursiv definierte Folge [mm] (a_n) [/mm] auf Konvergenz oder Divergenz und bestimmen Sie ggf. ihren Grenzwert. |
Hallo zusammen,
Mein Ansatz ist:
Ich zeige zuerst, dass [mm] a_n [/mm] monoton ist.
[mm] a_2=\bruch{a+1}{2}<1=a_1
[/mm]
Vermutung: [mm] a_n [/mm] ist monoton fallend.
Beweis durch Induktion:
Vorraussetzung: [mm] a_{n+1}\le a_n
[/mm]
[mm] a_{n+2}=\bruch{a+a_{n+1}}{1+a_{n+1}}=1+\bruch{a-1}{1+a_{n+1}}<^{n.V}1+\bruch{a-1}{1+a_n}=\bruch{1+a_{n}+a}{1+a_n}=\bruch{a_{n}+a}{a_{n}+1}=a_{n+1}
[/mm]
[mm] \Rightarrow a_n [/mm] ist monoton fallend.
Jetzt müsste ich noch zeigen, dass die Folge beschränkt ist, falls Sie konvergiert (was ich vermute).
Meine Schranke, die ich wählen würde, wäre 0.
Wie zeige ich dann, dass dies eine Schranke ist und falls es wirklich eine Schranke ist, ist sie dann auch automatisch der Grenzwert der Folge?
MfG
Marmik
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Marmik,
> Es sei $0<a<1,$ <a<1 und="" <span="" class="math">[mm]a_1:=1, a_{n+1}:=\bruch{a+a_{n}}{1+a_{n}}[/mm]
> für [mm]n\in\IN[/mm]
> Untersuchen Sie die rekursiv definierte Folge [mm](a_n)[/mm] auf
> Konvergenz oder Divergenz und bestimmen Sie ggf. ihren
> Grenzwert.
> Hallo zusammen,
>
> Mein Ansatz ist:
>
> Ich zeige zuerst, dass [mm]a_n[/mm] monoton ist.
> [mm]a_2=\bruch{a+1}{2}<1=a_1[/mm]
>
> Vermutung: [mm]a_n[/mm] ist monoton fallend.
> Beweis durch Induktion:
> Vorraussetzung: [mm]a_{n+1}\le a_n[/mm]
>
>
> [mm]a_{n+2}=\bruch{a+a_{n+1}}{1+a_{n+1}}=1+\bruch{a-1}{1+a_{n+1}}<^{n.V}1+\bruch{a-1}{1+a_n}=\bruch{1+a_{n}+a}{1+a_n}=\bruch{a_{n}+a}{a_{n}+1}=a_{n+1}[/mm]
Es ist hier schwer zu überschauen, dass das Kleiner-Zeichen nach Voraussetzung (übrigens nur ein "r"!) stimmt.
Man muss sich dazu klar machen, dass a-1 ja eine negative Zahl ist.
Außerdem fehlt dem vorletzten Bruch noch ein "-1" im Zähler, aber die Rechnung geht eben auch nicht auf.
> [mm]\Rightarrow a_n[/mm] ist monoton fallend.
Das ist richtig, aber wie gesagt, noch schwer nachzuvollziehen.
> Jetzt müsste ich noch zeigen, dass die Folge beschränkt
> ist, falls Sie konvergiert (was ich vermute).
Das tut sie.
> Meine Schranke, die ich wählen würde, wäre 0.
> Wie zeige ich dann, dass dies eine Schranke ist und falls
> es wirklich eine Schranke ist, ist sie dann auch
> automatisch der Grenzwert der Folge?
Dass sie eine Schranke ist, ist doch leicht zu zeigen. Du musst nur nachweisen, dass alle [mm] a_k>0 [/mm] sind.
Den Grenzwert hast Du damit aber nicht gefunden.
Hier hilft ein alter Trick:
Wenn es hier einen Grenzwert $g$ gibt, dann konvergieren für [mm] n\to\infty [/mm] sowohl [mm] a_n [/mm] als auch [mm] a_{n+1} [/mm] dagegen.
Also muss gelten: [mm] g=\bruch{a+g}{1+g}
[/mm]
Damit findest Du eine bessere untere Schranke, nämlich [mm] \wurzel{a}.
[/mm]
Es ist dann allerdings noch zu zeigen, dass das eine Schranke ist.
Grüße
reverend
</a<1>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:04 Mo 14.01.2013 | | Autor: | marmik |
Also zum Monotonieverhalten der Folge:
[mm] a_{n+2}=\bruch{a+a_{n+1}}{1+a_{n+1}}=1-\bruch{1-a}{1+a_{n+1}}\le 1-\bruch{1-a}{1+a_{n}}=\bruch{a_{n}+a}{1+a_{n}}=a_{n+1}
[/mm]
Jetzt steht da zumindest nichts negatives und es ist auch gezeigt, dass [mm] a_n [/mm] monoton fallend ist. Oder immer noch nicht?
Den "alten Trick" hab ich verstanden (glaub ich) .
Also so wie ich das verstanden habe ist, wenn ich zeige, dass [mm] \wurzel{a} [/mm] eine untere Schranke ist, ist [mm] \wurzel{a} [/mm] auch der Grenzwert oder ?
Jetzt fiel es mir schon schwer zu zeigen, dass [mm] \wurzel{a} [/mm] eine Schranke ist.
Mein Versuch geht wieder über Induktion:
Anfang:
[mm] a_{1}:=1>\wurzel{a}, [/mm] da 0<a<1
[mm] a_{2}=\bruch{a+1}{2}>\wurzel{a} [/mm] , da [mm] 1>a>\wurzel{a}
[/mm]
Ab jetzt werd ich unsicher.
Ist meine Vorraussetzung dann: [mm] a_n [/mm] > [mm] \wurzel{a} [/mm] ? Oder [mm] a_n [/mm] > [mm] a_{n+1}>\wurzel{a} [/mm] ?
Und falls irgendwas davon stimmen sollte, habe ich trotzdem keine Ahnung wie ich weiter machen soll -.-
MfG
Marmik
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:47 Mo 14.01.2013 | | Autor: | Helbig |
Hallo Marmik,
> Also zum Monotonieverhalten der Folge:
>
> [mm]a_{n+2}=\bruch{a+a_{n+1}}{1+a_{n+1}}=1-\bruch{1-a}{1+a_{n+1}}\le 1-\bruch{1-a}{1+a_{n}}=\bruch{a_{n}+a}{1+a_{n}}=a_{n+1}[/mm]
>
> Jetzt steht da zumindest nichts negatives und es ist auch
> gezeigt, dass [mm]a_n[/mm] monoton fallend ist. Oder immer noch
> nicht?
Jetzt ist alles richtig!
>
> Den "alten Trick" hab ich verstanden (glaub ich) .
> Also so wie ich das verstanden habe ist, wenn ich zeige,
> dass [mm]\wurzel{a}[/mm] eine untere Schranke ist, ist [mm]\wurzel{a}[/mm]
> auch der Grenzwert oder ?
Nein! Wir haben gezeigt, daß die Folge monoton fällt, und es ist leicht zu zeigen, daß 0 eine untere Schranke ist. Damit wissen wir, daß unsere Folge konvergiert. Es gibt also ein $g$ mit [mm] $\lim a_n [/mm] = g$. Dann konvergiert aber auch die Teilfolge [mm] $(a_{n+1})$ [/mm] gegen $g$.
Mit den Rechenregeln für Grenzwerte erhalten wir aus der Rekursionsformel ("alter Trick")
$g={a+g [mm] \over [/mm] 1 + [mm] g}\quad \gdw\quad g^2 [/mm] = [mm] a\,.$
[/mm]
Weiter folgt aus [mm] $a_n\ge [/mm] 0$, daß auch [mm] $g\ge [/mm] 0$ ist, so daß sich [mm] $g=\sqrt [/mm] a$ ergibt.
Gruß,
Wolfgang
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:11 Mo 14.01.2013 | | Autor: | marmik |
Hallo Helbig,
> > Den "alten Trick" hab ich verstanden (glaub ich) .
> > Also so wie ich das verstanden habe ist, wenn ich
> zeige,
> > dass [mm]\wurzel{a}[/mm] eine untere Schranke ist, ist [mm]\wurzel{a}[/mm]
> > auch der Grenzwert oder ?
>
> Nein! Wir haben gezeigt, daß die Folge monoton fällt, und
> es ist leicht zu zeigen, daß 0 eine untere Schranke ist.
> Damit wissen wir, daß unsere Folge konvergiert. Es gibt
> also ein [mm]g[/mm] mit [mm]\lim a_n = g[/mm]. Dann konvergiert aber auch die
> Teilfolge [mm](a_{n+1})[/mm] gegen [mm]g[/mm].
>
> Mit den Rechenregeln für Grenzwerte erhalten wir aus der
> Rekursionsformel ("alter Trick")
>
> [mm]g={a+g \over 1 + g}\quad \gdw\quad g^2 = a\,.[/mm]
>
> Weiter folgt aus [mm]a_n\ge 0[/mm], daß auch [mm]g\ge 0[/mm] ist, so daß
> sich [mm]g=\sqrt a[/mm] ergibt.
>
> Gruß,
> Wolfgang
Das hört sich auf jeden Fall viel einfacher an. Danke für die Hilfe.
Jetzt Frage ich mich, was daran falsch war zu zeigen dass [mm] \wurzel{a} [/mm] eine untere Schranke ist?
Wenn ich ausrechne, dass der Grenzwert [mm] g=\pm\wurzel{a} [/mm] ist und dann zeige, dass [mm] \wurzel{a} [/mm] eine untere Schranke ist (was natürlich viel umständlicher ist als dein Vorschlag), dann kommt doch [mm] -\wurzel{a} [/mm] als Grenzwert auch nicht mehr in Frage und ich hätte auch gezeigt, dass [mm] \wurzel{a} [/mm] der Grenzwert ist oder nicht?
MfG
Marmik
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:08 Di 15.01.2013 | | Autor: | Helbig |
> Hallo Helbig,
>
>
> > > Den "alten Trick" hab ich verstanden (glaub ich) .
> > > Also so wie ich das verstanden habe ist, wenn ich
> > zeige,
> > > dass [mm]\wurzel{a}[/mm] eine untere Schranke ist, ist [mm]\wurzel{a}[/mm]
> > > auch der Grenzwert oder ?
> >
> > Nein! Wir haben gezeigt, daß die Folge monoton fällt, und
> > es ist leicht zu zeigen, daß 0 eine untere Schranke ist.
> > Damit wissen wir, daß unsere Folge konvergiert. Es gibt
> > also ein [mm]g[/mm] mit [mm]\lim a_n = g[/mm]. Dann konvergiert aber auch die
> > Teilfolge [mm](a_{n+1})[/mm] gegen [mm]g[/mm].
> >
> > Mit den Rechenregeln für Grenzwerte erhalten wir aus der
> > Rekursionsformel ("alter Trick")
> >
> > [mm]g={a+g \over 1 + g}\quad \gdw\quad g^2 = a\,.[/mm]
> >
> > Weiter folgt aus [mm]a_n\ge 0[/mm], daß auch [mm]g\ge 0[/mm] ist, so daß
> > sich [mm]g=\sqrt a[/mm] ergibt.
> >
> > Gruß,
> > Wolfgang
>
> Das hört sich auf jeden Fall viel einfacher an. Danke für
> die Hilfe.
>
> Jetzt Frage ich mich, was daran falsch war zu zeigen dass
> [mm]\wurzel{a}[/mm] eine untere Schranke ist?
Daran war noch nichts falsch, außer daß es es recht aufwendig ist. Aber selbst wenn Du gezeigt hast, daß [mm] $\sqrt [/mm] a$ eine untere Schranke ist, so folgt daraus noch lange nicht, daß [mm] $\sqrt [/mm] a$ auch der Grenzwert ist. Den Grenzwert erhältst Du in jedem Fall über den "alten Trick", und den kannst Du immer anwenden, nachdem Du die Konvergenz nachgewiesen hast.
> Wenn ich ausrechne, dass der Grenzwert [mm]g=\pm\wurzel{a}[/mm] ist
> und dann zeige, dass [mm]\wurzel{a}[/mm] eine untere Schranke ist
> (was natürlich viel umständlicher ist als dein
> Vorschlag), dann kommt doch [mm]-\wurzel{a}[/mm] als Grenzwert auch
> nicht mehr in Frage und ich hätte auch gezeigt, dass
> [mm]\wurzel{a}[/mm] der Grenzwert ist oder nicht?
Nein. Da ist die Reihenfolge falsch. Du mußt zuerst die Konvergenz nachweisen (über Monotonie und Beschränktheit) und kannst erst dann den Grenzwert ausrechnen.
Gruß,
Wolfgang
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:55 Mi 16.01.2013 | | Autor: | marmik |
Hallo Helbig,
Danke für deine Hilfe.
MfG
Marmik
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