Grenzwert rekursiver Folgen < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:14 Mo 31.07.2017 | | Autor: | Takota |
| Aufgabe | | Es sei [mm] (a_n)_n_\varepsilon_\IN [/mm] eine rekursiv definierte Folge mit [mm] a_1=\frac{1}{2}, a_n_+_1 = a_n+\frac{1}{(n+1)(n+2)}, n\ge1.[/mm] |
Hallo. Bei dieser Aufgabe soll gezeigt werden, daß der Grenzwert = 1 ist.
Ich habe folgender Ansatz gemacht:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n=\limes_{n\rightarrow\infty}a_n_+_1=g[/mm]. Ich komme dann auf g=g, was ja falsch ist.
Aus dieser rekursiven Folge kann man ein Bildungsgesetzt herleiten und mit diesem dann einfach den Grenzwert berechnen. Mich interessiert hier aber, ob man den Grenzwert auch mit dem obigen Ansatzt lösen kann? Kann dieser Ansatz also nicht bei jeder rekursiven Folge gemacht werden?
Kann da jemand bitte was dazu sagen?
Gruß
Takota
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:45 Mo 31.07.2017 | | Autor: | fred97 |
> Es sei [mm](a_n)_n_\varepsilon_\IN[/mm] eine rekursiv definierte
> Folge mit [mm]a_1=\frac{1}{2}, a_n_+_1 = a_n+\frac{1}{(n+1)(n+2)}, n\ge1.[/mm]
>
> Hallo. Bei dieser Aufgabe soll gezeigt werden, daß der
> Grenzwert = 1 ist.
>
> Ich habe folgender Ansatz gemacht:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_n=\limes_{n\rightarrow\infty}a_n_+_1=g[/mm].
> Ich komme dann auf g=g, was ja falsch ist.
Was ist daran falsch ? Richtiger geht's doch gar nicht. Bringen tuts allerdings nix.
>
> Aus dieser rekursiven Folge kann man ein Bildungsgesetzt
> herleiten und mit diesem dann einfach den Grenzwert
> berechnen. Mich interessiert hier aber, ob man den
> Grenzwert auch mit dem obigen Ansatzt lösen kann?
Nein.
> Kann
> dieser Ansatz also nicht bei jeder rekursiven Folge gemacht
> werden?
Nicht bei jeder, wie man oben sehen kann.
>
> Kann da jemand bitte was dazu sagen?
>
> Gruß
> Takota
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:56 Di 01.08.2017 | | Autor: | Chris84 |
Hallo FRED
> > Es sei [mm](a_n)_n_\varepsilon_\IN[/mm] eine rekursiv definierte
> > Folge mit [mm]a_1=\frac{1}{2}, a_n_+_1 = a_n+\frac{1}{(n+1)(n+2)}, n\ge1.[/mm]
>
> >
> > Hallo. Bei dieser Aufgabe soll gezeigt werden, daß der
> > Grenzwert = 1 ist.
> >
> > Ich habe folgender Ansatz gemacht:
> >
> >
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_n=\limes_{n\rightarrow\infty}a_n_+_1=g[/mm].
> > Ich komme dann auf g=g, was ja falsch ist.
>
> Was ist daran falsch ? Richtiger geht's doch gar nicht.
> Bringen tuts allerdings nix.
>
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> >
> > Aus dieser rekursiven Folge kann man ein Bildungsgesetzt
> > herleiten und mit diesem dann einfach den Grenzwert
> > berechnen. Mich interessiert hier aber, ob man den
> > Grenzwert auch mit dem obigen Ansatzt lösen kann?
>
> Nein.
>
>
>
> > Kann
> > dieser Ansatz also nicht bei jeder rekursiven Folge gemacht
> > werden?
>
> Nicht bei jeder, wie man oben sehen kann.
Ich bin neugierig: Kannst du mir erzaehlen, welche Moeglichkeiten es gibt, um den Grenzwert dieser rekursiv definierten Folge zu berechnen, also ausser das explizite Bildungsgesetz zu raten und zu beweisen?
>
>
>
> >
> > Kann da jemand bitte was dazu sagen?
> >
> > Gruß
> > Takota
> >
> > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > Internetseiten gestellt.
>
Gruss,
Chris
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:06 Di 01.08.2017 | | Autor: | fred97 |
> ...
> Hallo FRED
>
> > > Es sei [mm](a_n)_n_\varepsilon_\IN[/mm] eine rekursiv definierte
> > > Folge mit [mm]a_1=\frac{1}{2}, a_n_+_1 = a_n+\frac{1}{(n+1)(n+2)}, n\ge1.[/mm]
>
> >
> > >
> > > Hallo. Bei dieser Aufgabe soll gezeigt werden, daß der
> > > Grenzwert = 1 ist.
> > >
> > > Ich habe folgender Ansatz gemacht:
> > >
> > >
> >
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_n=\limes_{n\rightarrow\infty}a_n_+_1=g[/mm].
> > > Ich komme dann auf g=g, was ja falsch ist.
> >
> > Was ist daran falsch ? Richtiger geht's doch gar nicht.
> > Bringen tuts allerdings nix.
> >
> >
> > >
> > > Aus dieser rekursiven Folge kann man ein Bildungsgesetzt
> > > herleiten und mit diesem dann einfach den Grenzwert
> > > berechnen. Mich interessiert hier aber, ob man den
> > > Grenzwert auch mit dem obigen Ansatzt lösen kann?
> >
> > Nein.
> >
> >
> >
> > > Kann
> > > dieser Ansatz also nicht bei jeder rekursiven Folge gemacht
> > > werden?
> >
> > Nicht bei jeder, wie man oben sehen kann.
>
> Ich bin neugierig: Kannst du mir erzaehlen, welche
> Moeglichkeiten es gibt, um den Grenzwert dieser rekursiv
> definierten Folge zu berechnen, also ausser das explizite
> Bildungsgesetz zu raten und zu beweisen?
Hallo Chris,
die Frage von Takota war: "Mich interessiert hier aber, ob man den
Grenzwert auch mit dem obigen Ansatzt lösen kann? "
Ob man also aus $ [mm] a_n_+_1 [/mm] = [mm] a_n+\frac{1}{(n+1)(n+2)} [/mm] $ und dem Ansatz $g:= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n [/mm] $ und $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n=\limes_{n\rightarrow\infty}a_n_+_1=g [/mm] $ Informationen über g bekommt.
Die einzige Information , die man bekommt ist $g=g$.
So hab ich den Fragesteller verstanden. Selbstverständlich muss man sich bei obiger Folge etwas anderes einfallen lassen, wenn man den Grenzwert g berechnren will.
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> > > Kann da jemand bitte was dazu sagen?
> > >
> > > Gruß
> > > Takota
> > >
> > > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > > Internetseiten gestellt.
> >
>
> Gruss,
> Chris
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:58 Di 01.08.2017 | | Autor: | Chris84 |
Hallo FRED
Was der Aufgabensteller gefragt hat, ist mir schon klar. (Und du hast damit ja auch Recht.)
Meine Frage ist nur eine Folgefrage: Welche Moeglichkeiten gibt es, um den Grenzwert einer solchen Rekursion zu bestimmen.
Eine Moeglichkeit ist das Raten und Beweisen des expliziten Bildungsgesetzes. Das hatten wir schon.
Meine (Folge)frage ist nun eben: Gibt es noch mehr Moeglichkeiten? Wenn ja, welche?
Es schadet ja nie, in einem Thread auch ein wenig zu diskutieren ;)
Gruss,
Chris
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:17 Di 01.08.2017 | | Autor: | fred97 |
> Hallo FRED
> Was der Aufgabensteller gefragt hat, ist mir schon klar.
> (Und du hast damit ja auch Recht.)
>
> Meine Frage ist nur eine Folgefrage: Welche Moeglichkeiten
> gibt es, um den Grenzwert einer solchen Rekursion zu
> bestimmen.
>
> Eine Moeglichkeit ist das Raten und Beweisen des expliziten
> Bildungsgesetzes. Das hatten wir schon.
>
Hallo Chris,
> Meine (Folge)frage ist nun eben: Gibt es noch mehr
> Moeglichkeiten? Wenn ja, welche?
Nun, ich denke, dass das von der konkreten Aufgabe abhängt. In obiger Allgemeinheit lässt sich Deine Frage nicht beantworten.
>
> Es schadet ja nie, in einem Thread auch ein wenig zu
> diskutieren ;)
Da hast Du recht.
>
> Gruss,
> Chris
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:18 Di 01.08.2017 | | Autor: | Chris84 |
> > Hallo FRED
> > Was der Aufgabensteller gefragt hat, ist mir schon
> klar.
> > (Und du hast damit ja auch Recht.)
> >
> > Meine Frage ist nur eine Folgefrage: Welche Moeglichkeiten
> > gibt es, um den Grenzwert einer solchen Rekursion zu
> > bestimmen.
> >
> > Eine Moeglichkeit ist das Raten und Beweisen des expliziten
> > Bildungsgesetzes. Das hatten wir schon.
> >
>
>
> Hallo Chris,
Hallo
>
>
> > Meine (Folge)frage ist nun eben: Gibt es noch mehr
> > Moeglichkeiten? Wenn ja, welche?
>
> Nun, ich denke, dass das von der konkreten Aufgabe
> abhängt. In obiger Allgemeinheit lässt sich Deine Frage
> nicht beantworten.
Nun ja, dann ganz konkret fuer diese Aufgabe. Was gaebe es da denn so fuer Moeglichkeiten? :)
> >
> > Es schadet ja nie, in einem Thread auch ein wenig zu
> > diskutieren ;)
>
> Da hast Du recht.
> >
> > Gruss,
> > Chris
>
Gruss,
Chris
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:26 Di 01.08.2017 | | Autor: | fred97 |
> > > Hallo FRED
> > > Was der Aufgabensteller gefragt hat, ist mir schon
> > klar.
> > > (Und du hast damit ja auch Recht.)
> > >
> > > Meine Frage ist nur eine Folgefrage: Welche Moeglichkeiten
> > > gibt es, um den Grenzwert einer solchen Rekursion zu
> > > bestimmen.
> > >
> > > Eine Moeglichkeit ist das Raten und Beweisen des expliziten
> > > Bildungsgesetzes. Das hatten wir schon.
> > >
> >
> >
> > Hallo Chris,
>
> Hallo
>
> >
> >
> > > Meine (Folge)frage ist nun eben: Gibt es noch mehr
> > > Moeglichkeiten? Wenn ja, welche?
> >
> > Nun, ich denke, dass das von der konkreten Aufgabe
> > abhängt. In obiger Allgemeinheit lässt sich Deine Frage
> > nicht beantworten.
>
> Nun ja, dann ganz konkret fuer diese Aufgabe. Was gaebe es
> da denn so fuer Moeglichkeiten? :)
Man rechnet ein paar Folgenglieder aus, bekommt die Vermutung $ [mm] a_{n} [/mm] = [mm] \frac{n}{n+1} [/mm] $, beweist das induktiv und hat dann [mm] $a_n \to [/mm] 1$.
>
> > >
> > > Es schadet ja nie, in einem Thread auch ein wenig zu
> > > diskutieren ;)
> >
> > Da hast Du recht.
> > >
> > > Gruss,
> > > Chris
> >
>
> Gruss,
> Chris
>
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:54 Di 01.08.2017 | | Autor: | Chris84 |
> > > > Hallo FRED
> > > > Was der Aufgabensteller gefragt hat, ist mir
> schon
> > > klar.
> > > > (Und du hast damit ja auch Recht.)
> > > >
> > > > Meine Frage ist nur eine Folgefrage: Welche Moeglichkeiten
> > > > gibt es, um den Grenzwert einer solchen Rekursion zu
> > > > bestimmen.
> > > >
> > > > Eine Moeglichkeit ist das Raten und Beweisen des expliziten
> > > > Bildungsgesetzes. Das hatten wir schon.
> > > >
> > >
> > >
> > > Hallo Chris,
> >
> > Hallo
> >
> > >
> > >
> > > > Meine (Folge)frage ist nun eben: Gibt es noch mehr
> > > > Moeglichkeiten? Wenn ja, welche?
> > >
> > > Nun, ich denke, dass das von der konkreten Aufgabe
> > > abhängt. In obiger Allgemeinheit lässt sich Deine Frage
> > > nicht beantworten.
> >
> > Nun ja, dann ganz konkret fuer diese Aufgabe. Was gaebe es
> > da denn so fuer Moeglichkeiten? :)
>
> Man rechnet ein paar Folgenglieder aus, bekommt die
> Vermutung [mm]a_{n} = \frac{n}{n+1} [/mm], beweist das induktiv und
> hat dann [mm]a_n \to 1[/mm].
Soweit so klar. Das ist nicht das Problem. Meine Frage war eher, ob es auch andere Moeglichkeiten gibt ;)
>
>
> >
> > > >
> > > > Es schadet ja nie, in einem Thread auch ein wenig zu
> > > > diskutieren ;)
> > >
> > > Da hast Du recht.
> > > >
> > > > Gruss,
> > > > Chris
> > >
> >
> > Gruss,
> > Chris
> >
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:56 Di 01.08.2017 | | Autor: | Takota |
Guten Abend zusammen.
Danke für die Beantwortung und das Interesse meiner Eingangsfrage.
So wie es aussieht, scheitert die Lösung mit dem obigen Ansatz, da lediglich die Aussage g=g herauskommt.
1) Warum ist das so?
2) Mich würden auch die Folgefragen von chris interessieren.
Hat da jemand vielleicht doch noch Lösungsvorschläge?
Gruß
Takota
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:22 Mi 02.08.2017 | | Autor: | fred97 |
> Guten Abend zusammen.
>
> Danke für die Beantwortung und das Interesse meiner
> Eingangsfrage.
>
> So wie es aussieht, scheitert die Lösung mit dem obigen
> Ansatz, da lediglich die Aussage g=g herauskommt.
>
> 1) Warum ist das so?
Diese Situation hat man immer, wenn für die konvergente Folge [mm] (a_n) [/mm] gilt
[mm] a_{n+1}=a_n +b_n [/mm] und [mm] b_n \to [/mm] 0
oder
[mm] a_{n+1}=a_nb_n [/mm] und [mm] b_n \to [/mm] 1.
> 2) Mich würden auch die Folgefragen von chris
> interessieren.
> Hat da jemand vielleicht doch noch
> Lösungsvorschläge?
Wie gesagt: ein Kochrezept für diese Situation gibt es nicht.
>
> Gruß
> Takota
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:47 Mi 02.08.2017 | | Autor: | Takota |
Hallo fred97, das ist einleuchtend.
Danke und Gruß
Takota
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:44 Di 01.08.2017 | | Autor: | X3nion |
Hallo Takota!
1) Nun schreibe dir einmal die ersten Glieder der rekursiv definierten Folge [mm] (a_{n}) [/mm] auf. Das Bildungsgesetz lautet [mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] a_{n} [/mm] + [mm] \frac{1}{(n+1)(n+2)}, a_{1} [/mm] := [mm] \frac{1}{2}.
[/mm]
Es ist [mm] a_{1} [/mm] = [mm] \frac{1}{2}
[/mm]
[mm] a_{2} [/mm] = [mm] \frac{1}{2} [/mm] + [mm] \frac{1}{(1+1)*(1+2)} [/mm] = [mm] \frac{1}{2} [/mm] + [mm] \frac{1}{6} [/mm] = [mm] \frac{4}{6} [/mm] = [mm] \frac{2}{3}
[/mm]
[mm] a_{3} [/mm] = [mm] \frac{2}{3} [/mm] + [mm] \frac{1}{(2+1)*(2+2)} [/mm] = [mm] \frac{2}{3} [/mm] + [mm] \frac{1}{12} [/mm] = [mm] \frac{9}{12} [/mm] = [mm] \frac{3}{4}
[/mm]
[mm] a_{4} [/mm] = [mm] \frac{3}{4} [/mm] + [mm] \frac{1}{(3+1)*(3+2)} [/mm] = [mm] \frac{3}{4} [/mm] + [mm] \frac{1}{20} [/mm] = [mm] \frac{16}{20} [/mm] = [mm] \frac{4}{5}.
[/mm]
...
Dies legt folgende Vermutung für eine explizite Darstellung nahe: [mm] a_{n} [/mm] = [mm] \frac{n}{n+1}
[/mm]
Beweis erfolgt durch vollständige Induktion nach n.
- Induktionsanfang: n = 1
Es ist auf der einen Seite in der expliziten Darstellung [mm] a_{1} [/mm] = [mm] \frac{1}{1+1} [/mm] = [mm] \frac{1}{2}
[/mm]
Und auf der anderen Seite gemäß Definition in der rekursiven Darstellung [mm] a_{1} [/mm] = [mm] \frac{1}{2}
[/mm]
Folglich ist der Induktionsanfang korrekt.
- Induktionsvoraussetzung: [mm] a_{n} [/mm] = [mm] \frac{n}{n+1} [/mm] gelte für ein n [mm] \in \IN, [/mm] n [mm] \ge [/mm] 1
- Induktionsschritt: n -> n+1
Zu zeigen: [mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] \frac{n+1}{n+2} [/mm] unter der Induktionsvoraussetzung
Es ist in der rekursiven Darstellung: [mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] a_{n} [/mm] + [mm] \frac{1}{(n+1)(n+2)} [/mm] = ... jetzt bist du dran!
2) Hast du dies bewiesen, so kannst du eine Grenzwertbetrachtung für n [mm] \rightarrow \infty [/mm] durchführen und erhältst wie gewünscht [mm] \lim_{n\rightarrow\infty} a_{n} [/mm] = 1
Dafür musst du aber erst einmal durch die vollständige Induktion durch 
Viele Grüße,
X3nion
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:25 Di 01.08.2017 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Takota!
>
> 1) Nun schreibe dir einmal die ersten Glieder der rekursiv
> definierten Folge [mm](a_{n})[/mm] auf. Das Bildungsgesetz lautet
> [mm]a_{n+1}[/mm] = [mm]a_{n}[/mm] + [mm]\frac{1}{(n+1)(n+2)}, a_{1}[/mm] :=
> [mm]\frac{1}{2}.[/mm]
>
> Es ist [mm]a_{1}[/mm] = [mm]\frac{1}{2}[/mm]
>
> [mm]a_{2}[/mm] = [mm]\frac{1}{2}[/mm] + [mm]\frac{1}{(1+1)*(1+2)}[/mm] = [mm]\frac{1}{2}[/mm] +
> [mm]\frac{1}{6}[/mm] = [mm]\frac{4}{6}[/mm] = [mm]\frac{2}{3}[/mm]
>
> [mm]a_{3}[/mm] = [mm]\frac{2}{3}[/mm] + [mm]\frac{1}{(2+1)*(2+2)}[/mm] = [mm]\frac{2}{3}[/mm] +
> [mm]\frac{1}{12}[/mm] = [mm]\frac{9}{12}[/mm] = [mm]\frac{3}{4}[/mm]
>
> [mm]a_{4}[/mm] = [mm]\frac{3}{4}[/mm] + [mm]\frac{1}{(3+1)*(3+2)}[/mm] = [mm]\frac{3}{4}[/mm] +
> [mm]\frac{1}{20}[/mm] = [mm]\frac{16}{20}[/mm] = [mm]\frac{4}{5}.[/mm]
>
> ...
>
> Dies legt folgende Vermutung für eine explizite
> Darstellung nahe: [mm]a_{n}[/mm] = [mm]\frac{n}{n+1}[/mm]
>
> Beweis erfolgt durch vollständige Induktion nach n.
>
> - Induktionsanfang: n = 1
>
> Es ist auf der einen Seite in der expliziten Darstellung
> [mm]a_{1}[/mm] = [mm]\frac{1}{1+1}[/mm] = [mm]\frac{1}{2}[/mm]
> Und auf der anderen Seite gemäß Definition in der
> rekursiven Darstellung [mm]a_{1}[/mm] = [mm]\frac{1}{2}[/mm]
>
> Folglich ist der Induktionsanfang korrekt.
>
> - Induktionsvoraussetzung: [mm]a_{n}[/mm] = [mm]\frac{n}{n+1}[/mm] gelte für
> ein n [mm]\in \IN,[/mm] n [mm]\ge[/mm] 1
>
> - Induktionsschritt: n -> n+1
>
> Zu zeigen: [mm]a_{n+1}[/mm] = [mm]\frac{n+1}{n+2}[/mm] unter der
> Induktionsvoraussetzung
>
> Es ist in der rekursiven Darstellung: [mm]a_{n+1}[/mm] = [mm]a_{n}[/mm] +
> [mm]\frac{1}{(n+1)(n+2)}[/mm] = ... jetzt bist du dran!
>
>
> 2) Hast du dies bewiesen, so kannst du eine
> Grenzwertbetrachtung für n [mm]\rightarrow \infty[/mm] durchführen
> und erhältst wie gewünscht [mm]\lim_{n\rightarrow\infty} a_{n}[/mm]
> = 1
> Dafür musst du aber erst einmal durch die vollständige
> Induktion durch
>
>
> Viele Grüße,
> X3nion
Bin ich der einzige, der den Fragesteller verstanden hat oder bin ich der einzige, der den Fragesteller nicht verstanden hat ?
Er schrieb:
"Aus dieser rekursiven Folge kann man ein Bildungsgesetzt herleiten und mit diesem dann einfach den Grenzwert berechnen. Mich interessiert hier aber, ob man den Grenzwert auch mit dem obigen Ansatzt lösen kann?"
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:57 Mi 02.08.2017 | | Autor: | X3nion |
> Bin ich der einzige, der den Fragesteller verstanden hat
> oder bin ich der einzige, der den Fragesteller nicht
> verstanden hat ?
>
> Er schrieb:
>
>
> "Aus dieser rekursiven Folge kann man ein Bildungsgesetzt
> herleiten und mit diesem dann einfach den Grenzwert
> berechnen. Mich interessiert hier aber, ob man den
> Grenzwert auch mit dem obigen Ansatzt lösen kann?"
>
>
Hallo Fred,
sorry, da hab ich nicht aufgepasst! 
Viele Grüße,
X3nion
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