Grenzwert und Folgenkriterium < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:11 Sa 05.04.2008 | | Autor: | manmath |
| Aufgabe | sei f(x) = [mm] \bruch{1 - e^{x}}{sin x}
[/mm]
a) bestimme den Grenzwert f(0)
b) sei [mm] x_{n} [/mm] eine Folge mit [mm] x_{n} [/mm] = [mm] 10^{-n}
[/mm]
bestimme [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f(x_{n}) [/mm] und vergleiche diesen Grenzwert mit dem Grenzwert aus a)
Tip: Verwende eine Taylorentwicklung für [mm] e^{x} [/mm] |
zu a) da finde ich mit der Regel von de L'Hospital dass f(0) = -1 ist.
zu b) die vorgegebene Folge hat den Grenzwert 0 für n gegen [mm] \infty
[/mm]
Zur Berechnung von $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f(x_{n}) [/mm] $ setze ich im Zähler von f(x) aus a) für [mm] e^{x} [/mm] die Potenzreihe ein (entspricht der Taylorentwicklung an der Stelle x=0)
Zähler von f(x): -( [mm] \bruch{x}{1} [/mm] + [mm] \bruch{x^{2}}{2!} [/mm] + ++ [mm] \bruch{x^{m}}{m!})
[/mm]
Nenner von f(x) bleibt sinx
Wenn ich jetzt zur Berechnung von [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f(x_{n}) [/mm] statt x im Zähler und Nenner [mm] x_{n} [/mm] = [mm] 10^{-n} [/mm] einsetze und n gegen [mm] \infty
[/mm]
laufen lasse, kommt ein unbestimmter Ausdruck 0/0 heraus. Wie komme ich da weiter?
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Hallo manmath,
> sei f(x) = [mm]\bruch{1 - e^{x}}{sin x}[/mm]
> a) bestimme den
> Grenzwert f(0)
>
> b) sei [mm]x_{n}[/mm] eine Folge mit [mm]x_{n}[/mm] = [mm] [10^{-n}[/mm]
> bestimme [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f(x_{n})[/mm] und
> vergleiche diesen Grenzwert mit dem Grenzwert aus a)
> Tip: Verwende eine Taylorentwicklung für [mm]e^{x}[/mm]
> zu a) da finde ich mit der Regel von de L'Hospital dass
> f(0) = -1 ist.
hmm, eher, dass [mm] $\lim\limits_{x\to 0}f(x)=-1$
[/mm]
$f(0)$ ist ja erstmal so gar nicht definiert...
>
> zu b) die vorgegebene Folge hat den Grenzwert 0 für n gegen
> [mm]\infty[/mm]
>
> Zur Berechnung von [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f(x_{n})[/mm]
> setze ich im Zähler von f(x) aus a) für [mm]e^{x}[/mm] die
> Potenzreihe ein (entspricht der Taylorentwicklung an der
> Stelle x=0)
>
> Zähler von f(x): -( [mm] \bruch{x}{1} [/mm] + [mm] \bruch{x^{2}}{2!} [/mm] +.... [mm] +\bruch{x^{m}}{m!}) [/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
nimm die Reihenentwicklung, die geht bis [mm] $\infty$
[/mm]
>
> Nenner von f(x) bleibt sinx
>
> Wenn ich jetzt zur Berechnung von
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f(x_{n})[/mm] statt x im Zähler und
> Nenner [mm]x_{n}[/mm] = [mm]10^{-n}[/mm] einsetze und n gegen [mm]\infty[/mm]
>
> laufen lasse, kommt ein unbestimmter Ausdruck 0/0 heraus.
> Wie komme ich da weiter?
Ich würde auch vom Sinus die Taylorreihe nehmen:
[mm] $f(x)=\frac{-(x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^5}{5!}+.....)}{x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}\mp.....}$
[/mm]
Nun $x$ im Zähler und im Nenner ausklammern:
[mm] $=-\frac{x\cdot{}\left[1+\frac{x}{2!}+\frac{x^2}{3!}+\frac{x^3}{4!}+\frac{x^4}{5!}+.....\right]}{x\cdot{}\left[1-\frac{x^2}{3!}+\frac{x^4}{5!}\mp.....\right]}$ [/mm] ... und kürzen
[mm] $=-\frac{1+\frac{x}{2!}+\frac{x^2}{3!}+\frac{x^3}{4!}+\frac{x^4}{5!}+.....}{1-\frac{x^2}{3!}+\frac{x^4}{5!}\mp.....}$
[/mm]
Nun setze mal deine Folge [mm] $(x_n)=(10^{-n})$ [/mm] ein und schaue, was für [mm] $n\to\infty$ [/mm] passiert...
Alternativ - ohne die Reihendarstellung vom Sinus - geht's, wenn du die für kleine x gültige Näherung des Sinus zu Hilfe nimmst:
[mm] $\sin(x)\approx [/mm] x$ für $x$ nahe bei 0
Das führt aber zum selben Ergebnis...
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:42 Sa 05.04.2008 | | Autor: | manmath |
Danke , schachuzipus
also sind beide Grenzwerte gleich -1
LG manmath
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:56 Sa 05.04.2008 | | Autor: | Teufel |
Hallo!
Könnte man nicht auch so argumentieren, dass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}x_n=0 [/mm] ist und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f(x_n)=\limes_{x\rightarrow0}f(x) [/mm] ist, wie in a)? Deshalb muss ja das selbe rauskommen.
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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Hallo Teufel,
schicker Hut ![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]")
> Hallo!
>
> Könnte man nicht auch so argumentieren, dass
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}x_n=0[/mm] ist und
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}f(x_n)=\limes_{x\rightarrow0}f(x)[/mm]
> ist, wie in a)? Deshalb muss ja das selbe rauskommen.
Hmm, f ist ja in x=0 erstmal nicht definiert, mit (a) kann man f durch das Definieren von $f(0):=-1$ stetig fortsetzen. An den anderen NSTen des Sinus sind aber Polstellen, da ist f garantiert nicht stetig
Mit (b) soll ja nur exemplarisch überprüft/nachgerechnet werden, dass für die bestimmte Nullfolge [mm] $x_n=(10^{-n})_n$ [/mm] tatsächlich [mm] $f(x_n)$ [/mm] auch gegen $-1$ strebt.
Dass dies auch für jede andere Nullfolge klappen muss und damit das von dir erwähnte Folgenkriterium der Stetigkeit stimmt, ist mit der Festlegung $f(0):=-1$ klar, da es die stetige Fortsetzung von f in 0 ist
> Teufel
LG ohne Hut
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:55 So 06.04.2008 | | Autor: | Teufel |
Ja, den hab ich mir gestern gekauft, den Hut ;)
Ok, danke dir! Gute Nacht.
Teufel
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