Grenzwert unendl. Produkt < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:49 Do 04.10.2012 | | Autor: | Katthi |
| Aufgabe | | [mm] f_n(z) = z^2 \produkt_{k=1}^{n} (1- \bruch{z^4}{\pi^4*k^4}) [/mm] |
Hallo Leute,
kann mir jemand sagen, wie ich zeigen kann, dass der Grenzwert
[mm] f(z) = \limes_{k\rightarrow\infty} f_n(z) [/mm] für alle z existiert?
Irgendwie stehe ich total auf der Leitung.
Viele Grüße,
Katthi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:00 Do 04.10.2012 | | Autor: | abakus |
> [mm]f_n(z) = z^2 \produkt_{k=1}^{n} (1- \bruch{z^4}{\pi^4*k^4})[/mm]
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> Hallo Leute,
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> kann mir jemand sagen, wie ich zeigen kann, dass der
> Grenzwert
> [mm]f(z) = \limes_{k\rightarrow\infty} f_n(z)[/mm] für alle z
> existiert?
>
> Irgendwie stehe ich total auf der Leitung.
>
> Viele Grüße,
> Katthi
Hallo Katthi,
nimm dir ein beliebiges z. Irgendwann ist k so groß (es geht ja gegen unendlich), dass es größer ist als der Betrag deines gewählten z.
Dann ist [mm] $z^4/k^4$ [/mm] kleiner als 1, erst recht ist [mm]\bruch{z^4}{\pi^4*k^4}[/mm] kleiner als 1.
Dann ist der Faktor [mm] (1- \bruch{z^4}{\pi^4*k^4})[/mm] und alle folgenden Faktoren zwischen 0 und 1. Das betrachtete Produkt wird also für konstantes z ab einen bestimmten Wert k mit jedem Faktor betragsmäßig kleiner.
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:06 Do 04.10.2012 | | Autor: | Katthi |
Danke für die schnelle Antwort.
Ich habe irgendwoe gelesen, dass so ein Produkt exisitiert, das heißt ja, dass es einen Grenzwert gibt, falls die Folge (also das was hinter dem Produktzeichen steht) für [mm] k \to \infty[/mm] eine 1-Folge ist, also gegen 1 konvergiert. Das wäre hier ja der Fall. Ich bin mir aber nicht sicher, ob ich das so richtig in Erinnerung habe, dass ich das wirklich anwenden kann. So würde es ja sonst passen.
Aber ansonsten schaue ich mir einfach an, was passiert mit den Faktoren, wenn ich mit dem k irgendwann größer als der Betrag von z?!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:49 Do 04.10.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo Katthi!
> Danke für die schnelle Antwort.
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> Ich habe irgendwoe gelesen, dass so ein Produkt exisitiert,
> das heißt ja, dass es einen Grenzwert gibt, falls die
> Folge (also das was hinter dem Produktzeichen steht) für [mm]k \to \infty[/mm]
> eine 1-Folge ist, also gegen 1 konvergiert. Das wäre hier
> ja der Fall. Ich bin mir aber nicht sicher, ob ich das so
> richtig in Erinnerung habe, dass ich das wirklich anwenden
> kann. So würde es ja sonst passen.
Das ist das notwendige Kriterium für die Konvergenz eines unendlichen Produkts (wenn keiner der Faktoren gleich 0 ist, denn dann ist das ganze Produkt 0).
> Aber ansonsten schaue ich mir einfach an, was passiert mit
> den Faktoren, wenn ich mit dem k irgendwann größer als
> der Betrag von z?!
Das geht mit dem Logarithmus: Das unendliche Produkt
[mm] \prod_{n=1}^\infty a_n [/mm]
konvergiert genau dann, wenn es ein [mm] $N\in\IN$ [/mm] gibt, sodass
(a) alle [mm] $a_n\not=0$ [/mm] für [mm] $n\ge [/mm] N$,
und
(b) die unendliche Reihe
[mm] \summe_{n=N}^\infty \ln a_n [/mm]
konvergiert.
Siehe z.B. ![[]](/images/popup.gif) hier.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:05 Do 04.10.2012 | | Autor: | Katthi |
Danke für deine Antwort.
Also würde es nicht reichen zz. dass [mm] a_n \to 1[/mm] konvergiert, sondern ich müsste über den logarithmus gehen?
Bestimmt total die einfache Angelegenheit, aber ich weiß nicht, welches Kriterium ich am besten anwende um dann die Konvergenz von dem Logarithmus zu bestimmen... am naheligensten finde ich es, vllt eine Minorante zu finden, aber ich weiß nciht, wie ich dann am besten abschätzen soll...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:26 Do 04.10.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Danke für deine Antwort.
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> Also würde es nicht reichen zz. dass [mm]a_n \to 1[/mm]
> konvergiert, sondern ich müsste über den logarithmus
> gehen?
Ja.
> Bestimmt total die einfache Angelegenheit, aber ich weiß
> nicht, welches Kriterium ich am besten anwende um dann die
> Konvergenz von dem Logarithmus zu bestimmen... am
> naheligensten finde ich es, vllt eine Minorante zu finden,
> aber ich weiß nciht, wie ich dann am besten abschätzen
> soll...
Für beliebige reelle x gilt: [mm] $e^{x} \ge [/mm] 1+x [mm] \gdw e^{-x} \ge [/mm] 1-x$.
Da der Logarithmus eine auf der positiven reellen Achse definierte, streng monoton steigende Funktion ist, kann ich beide Seiten einfach logarithmieren, solange $1-x >0 $ ist.
[mm] \ln e^{-x} \le \ln(1- x) [/mm] für $x<1$
oder: [mm] $\ln(1- [/mm] x) [mm] \le [/mm] -x $ für $x<1$ .
Damit kannst du [mm] $\ln\left(1- \bruch{z^4}{\pi^4\cdot{}k^4}\right)$ [/mm] abschätzen, zumindest für reelle z. Für komplexe z musst du
[mm] \ln z = \ln|z| + i \mathop{\mathrm{arg} z [/mm]
benutzen.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:50 Do 04.10.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> nimm dir ein beliebiges z. Irgendwann ist k so groß (es
> geht ja gegen unendlich), dass es größer ist als der
> Betrag deines gewählten z.
> Dann ist [mm]z^4/k^4[/mm] kleiner als 1, erst recht ist
> [mm]\bruch{z^4}{\pi^4*k^4}[/mm] kleiner als 1.
> Dann ist der Faktor [mm](1- \bruch{z^4}{\pi^4*k^4})[/mm] und alle
> folgenden Faktoren zwischen 0 und 1. Das betrachtete
> Produkt wird also für konstantes z ab einen bestimmten
> Wert k mit jedem Faktor betragsmäßig kleiner.
Das ist zwar richtig, hat aber mit der Konvergenz des Produkts nichts zu tun. Notwendig ist die Konvergenz der Folge der Faktoren gegen 1.
Viele Grüße
Rainer
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