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Hallo,
ich soll den Grenzwert der Folge:
[mm] a_n [/mm] := [mm] \wurzel{n^2+3n} [/mm] - n bestimmen
Kein Problem. Ich erweitere einfach mit dem Konjungiertem Zähler...
[mm] a_n [/mm] = [mm] \frac{(\wurzel{n^2+3n} - n) * (\wurzel{n^2+3n} + n)}{(\wurzel{n^2+3n} + n)}
[/mm]
Dann multipliziere ich den Zähler aus:
[mm] \frac{3n}{\wurzel{n^2+3n} + n}
[/mm]
Nun würde ich Zähler und Nenner durch n teilen - das bringt mich aber nicht auf die Lösung. In der Musterlösung schließen die von dem obigen auf:
[mm] \frac{3}{1+\wurzel{1+\frac{3}{n}}} \to \frac{3}{2}
[/mm]
Die haben da bestimmt auch durch irgendwas geteilt. Aber durch was?
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> Hallo,
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> ich soll den Grenzwert der Folge:
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> [mm]a_n[/mm] := [mm]\wurzel{n^2+3n}[/mm] - n bestimmen
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> Kein Problem. Ich erweitere einfach mit dem Konjungiertem
> Zähler...
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> [mm]a_n[/mm] = [mm]\frac{(\wurzel{n^2+3n} - n) * (\wurzel{n^2+3n} + n)}{(\wurzel{n^2+3n} + n)}[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Dann multipliziere ich den Zähler aus:
>
> [mm]\frac{3n}{\wurzel{n^2+3n} + n}[/mm]
>
> Nun würde ich Zähler und Nenner durch n teilen - das bringt
> mich aber nicht auf die Lösung. In der Musterlösung
> schließen die von dem obigen auf:
>
Doch, genau das würde dich auf die Lösung bringen:
[mm] \frac{3n}{\wurzel{n^2+3n} + n}
[/mm]
[mm] =\frac{3n}{\wurzel{n^2(1+\bruch{3}{n})} + n}
[/mm]
[mm] =\frac{3n}{n\wurzel{1+\bruch{3}{n}} + n}
[/mm]
[mm] =\frac{3n}{n(\wurzel{1+\bruch{3}{n}} + 1)}
[/mm]
[mm] =\frac{3}{\wurzel{1+\bruch{3}{n}} + 1}
[/mm]
> [mm]\frac{3}{1+\wurzel{1+\frac{3}{n}}} \to \frac{3}{2}[/mm]
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>
> Die haben da bestimmt auch durch irgendwas geteilt. Aber
> durch was?
>
Gruß Patrick
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