Grenzwert v. Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:32 Do 30.04.2009 | | Autor: | unR34L |
| Aufgabe | Berechnen Sie die Grenzwerte folgender Zahlenfolgen:
a)
[mm] a_{n}= (\bruch{3n-2}{3n+1})^{2n}
[/mm]
b)
[mm] a_{n}=(\wurzel{2n-8})^{\bruch{1}{n-4}} [/mm] |
zu a)
Hab versucht es auf die Form (1+ [mm] \bruch{x}{n})^{n} [/mm] zu bekommen.
Bin soweit gekommen: (1+ [mm] \bruch{-3}{3n+1})^{2n} [/mm] aber irgendwie hilft mir das auch nicht so recht weiter.
Wie forme ich die Folge am geschicktesten um, damit ich den GW berechnen kann?
Zu b) hab ich mir noch keine Gedanken gemacht, wollte erstmal a) lösen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:47 Do 30.04.2009 | | Autor: | abakus |
> Berechnen Sie die Grenzwerte folgender Zahlenfolgen:
> a)
> [mm]a_{n}= (\bruch{3n-2}{3n+1})^{2n}[/mm]
> b)
>
> [mm]a_{n}=(\wurzel{2n-8})^{\bruch{1}{n-4}}[/mm]
> zu a)
>
> Hab versucht es auf die Form (1+ [mm]\bruch{x}{n})^{n}[/mm] zu
> bekommen.
>
> Bin soweit gekommen: (1+ [mm]\bruch{-3}{3n+1})^{2n}[/mm] aber
> irgendwie hilft mir das auch nicht so recht weiter.
>
> Wie forme ich die Folge am geschicktesten um, damit ich den
> GW berechnen kann?
Hallo,
erweitere den Exponenten mit [mm] -\bruch{3n+1}{3}.
[/mm]
Damit bekommst du erst mal die gewünschte Form und einen übrigbleibenden Faktor im Exponenten.
Gruß Abakus
>
> Zu b) hab ich mir noch keine Gedanken gemacht, wollte
> erstmal a) lösen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:47 Fr 01.05.2009 | | Autor: | unR34L |
> Hallo,
> erweitere den Exponenten mit [mm]-\bruch{3n+1}{3}.[/mm]
> Damit bekommst du erst mal die gewünschte Form und einen
> übrigbleibenden Faktor im Exponenten.
> Gruß Abakus
[mm] \bruch{2n*\bruch{-3n-1}{3}}{\bruch{-3n-1}{3}} [/mm] = [mm] \bruch{n(6n+2)}{3n+1}
[/mm]
Jetzt hänge ich hier. Damit ich dass mit [mm] e^{x} [/mm] anwenden kann, muss doch der Exponent genau gleich dem Nenner in der Klammer sein. Wie kriege ich das hin ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:21 Fr 01.05.2009 | | Autor: | abakus |
> > Hallo,
> > erweitere den Exponenten mit [mm]-\bruch{3n+1}{3}.[/mm]
> > Damit bekommst du erst mal die gewünschte Form und
> einen
> > übrigbleibenden Faktor im Exponenten.
> > Gruß Abakus
>
>
> [mm]\bruch{2n*\bruch{-3n-1}{3}}{\bruch{-3n-1}{3}}[/mm] =
> [mm]\bruch{n(6n+2)}{3n+1}[/mm]
>
> Jetzt hänge ich hier. Damit ich dass mit [mm]e^{x}[/mm] anwenden
> kann, muss doch der Exponent genau gleich dem Nenner in der
> Klammer sein. Wie kriege ich das hin ?
Hallo,
[mm] (1+\bruch{-3}{3n+1})^{2n}=(1+\bruch{-3}{3n+1})^{2n\cdot\bruch{\bruch{3n+1}{-3}}{\bruch{3n+1}{-3}}}=((1+\bruch{-3}{3n+1})^{\bruch{3n+1}{-3}})^{\bruch{2n\cdot(-3)}{3n+1}}.
[/mm]
Bei der Grenzwertbildung wird daraus "e hoch Exponent hinter der letzten Klammer".
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:45 Fr 01.05.2009 | | Autor: | unR34L |
> Hallo,
>
> [mm](1+\bruch{-3}{3n+1})^{2n}=(1+\bruch{-3}{3n+1})^{2n\cdot\bruch{\bruch{3n+1}{-3}}{\bruch{3n+1}{-3}}}=((1+\bruch{-3}{3n+1})^{\bruch{3n+1}{-3}})^{\bruch{2n\cdot(-3)}{3n+1}}.[/mm]
> Bei der Grenzwertbildung wird daraus "e hoch Exponent
> hinter der letzten Klammer".
> Gruß Abakus
Ok, die Umformungen hab ich schonmal kapiet. Aber wenn ich jetzt "e hoch Exponent hinter der letzten Klammer" bilde kommt doch:
[mm] e^{\bruch{2n\cdot(-3)}{3n+1}}.
[/mm]
Soweit mir bekannt müsste die Lösung [mm] e^{-2} [/mm] sein.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:46 Fr 01.05.2009 | | Autor: | abakus |
> > Hallo,
> >
> >
> [mm](1+\bruch{-3}{3n+1})^{2n}=(1+\bruch{-3}{3n+1})^{2n\cdot\bruch{\bruch{3n+1}{-3}}{\bruch{3n+1}{-3}}}=((1+\bruch{-3}{3n+1})^{\bruch{3n+1}{-3}})^{\bruch{2n\cdot(-3)}{3n+1}}.[/mm]
> > Bei der Grenzwertbildung wird daraus "e hoch Exponent
> > hinter der letzten Klammer".
> > Gruß Abakus
>
> Ok, die Umformungen hab ich schonmal kapiet. Aber wenn ich
> jetzt "e hoch Exponent hinter der letzten Klammer" bilde
> kommt doch:
>
> [mm]e^{\bruch{2n\cdot(-3)}{3n+1}}.[/mm]
>
> Soweit mir bekannt müsste die Lösung [mm]e^{-2}[/mm] sein.
Das sehe ich auch so.
Gruß Abakus
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Hallo!
Beachte, dass die e-Funktion stetig ist, daher gilt nach dem Folgenkriterium:
[mm] $\lim_{n\to\infty} e^{x_n}= e^{\lim\limits_{n\to\infty} x_n}$
[/mm]
Gruß Patrick
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:14 Fr 01.05.2009 | | Autor: | unR34L |
Ahh, jetzt hats klick gemacht, danke !
zu b)
Werde ich mir jetzt mal angucken
----- Das hier macht wenig Sinn wenn ichs mir genau überlege.
Reichen da folgende Schlussfolgerungen ?
Für n > 4 ist [mm] \wurzel{2n-8} [/mm] > 0 und [mm] \lim_{n\to\infty} \wurzel[n]{q} [/mm] = 1 für q > 0, also [mm] \lim_{n\to\infty} \wurzel{2n-8} [/mm] =1 und [mm] \lim_{n\to\infty} 1^{\bruch{1}{n-4}} [/mm] = 1
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:29 Fr 01.05.2009 | | Autor: | abakus |
> Ahh, jetzt hats klick gemacht, danke !
>
> zu b)
>
> Werde ich mir jetzt mal angucken
>
> ----- Das hier macht wenig Sinn wenn ichs mir genau
> überlege.
> Reichen da folgende Schlussfolgerungen ?
>
> Für n > 4 ist [mm]\wurzel{2n-8}[/mm] > 0 und [mm]\lim_{n\to\infty} \wurzel[n]{q}[/mm]
> = 1 für q > 0, also [mm]\lim_{n\to\infty} \wurzel{2n-8}[/mm] =1 und
> [mm]\lim_{n\to\infty} 1^{\bruch{1}{n-4}}[/mm] = 1
Das greift zu kurz, denn du hast kein konstantes q, sondern ein mit n ebenfalls wachsendes q.
Wenn du den Term 2n-8 durch "k" substituierst, erhältst du den Term [mm] \wurzel[k]{k} [/mm] mit k gegen unendlich.
Aber substituiere mal lieber 2n-8 durch (k+1), dann erhältst du [mm] (1+k)^\bruch{1}{1+k}=(1+k)^{\bruch{1}{k}\cdot\bruch{k}{1+k}}.
[/mm]
Gruß Abakus
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:52 Fr 01.05.2009 | | Autor: | unR34L |
> Das greift zu kurz, denn du hast kein konstantes q,
> sondern ein mit n ebenfalls wachsendes q.
> Wenn du den Term 2n-8 durch "k" substituierst, erhältst du
> den Term [mm]\wurzel[k]{k}[/mm] mit k gegen unendlich.
> Aber substituiere mal lieber 2n-8 durch (k+1), dann
> erhältst du
> [mm](1+k)^\bruch{1}{1+k}=(1+k)^{\bruch{1}{k}\cdot\bruch{k}{1+k}}.[/mm]
> Gruß Abakus
>
Hier blicke ich grade noch nicht so wirklich durch.
Wenn ich 2n-8 durch k substituiere komme ich auf [mm] \wurzel{k}^{\bruch{2}{k}}. [/mm] Wie kommt man damit auf [mm] \wurzel[k]{k} [/mm] ?
Und wenn man dann auf [mm] \wurzel[k]{k} [/mm] kommt, wieso kann ich dann nicht einfach sagen [mm] \lim_{k\to\infty} \wurzel[k]{k} [/mm] = 1 und wäre fertig ?
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> Hier blicke ich grade noch nicht so wirklich durch.
>
> Wenn ich 2n-8 durch k substituiere komme ich auf
> [mm]\wurzel{k}^{\bruch{2}{k}}.[/mm] Wie kommt man damit auf
> [mm]\wurzel[k]{k}[/mm] ?
$ [mm] a_{n}=(\wurzel{2n-8})^{\bruch{1}{n-4}} [/mm] = [mm] a_{n}=(2n-8)^{{1/2}^{\bruch{1}{n-4}}}= a_{n}=(2n-8)^{\bruch{1}{2n-8}} [/mm] $
Jetzt kannst du substituieren.
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> Und wenn man dann auf [mm]\wurzel[k]{k}[/mm] kommt, wieso kann ich
> dann nicht einfach sagen [mm]\lim_{k\to\infty} \wurzel[k]{k}[/mm]
> = 1 und wäre fertig ?
Wenn ihr das in der Vorlesung bewiesen habt, dann kannst du das so machen.
Gruß Patrick
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