Grenzwert von Fkt. bestimmen < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:48 Mi 29.04.2009 | | Autor: | ganzir |
| Aufgabe | | [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} x\*ln(\bruch{x-1}{x+1}) [/mm] |
Nun also davon der Grenzwert... mein Gedankengang bisher:
[mm] ln(\bruch{x-1}{x+1}) [/mm] = ln(x-1) - ln(x+1) = [ln(x) + ln [mm] (1-\bruch{1}{x})] [/mm] - [ln(x) + ln [mm] (1+\bruch{1}{x})]
[/mm]
= ln [mm] (1-\bruch{1}{x}) [/mm] - ln [mm] (1+\bruch{1}{x})
[/mm]
Durch [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] wird aus [mm] \bruch{1}{x} [/mm] = 0
Daher nur noch
ln1 - ln1 = 0
Macht aus der gesamten Gleichung
[mm] \infty \* [/mm] 0
und ich bin keine Stück weiter, kann mir jemand helfen?
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Hallo ganzir,
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} x\*ln(\bruch{x-1}{x+1})[/mm]
> Nun
> also davon der Grenzwert... mein Gedankengang bisher:
>
> [mm]ln(\bruch{x-1}{x+1})[/mm] = ln(x-1) - ln(x+1) = [ln(x) + ln
> [mm](1-\bruch{1}{x})][/mm] - [ln(x) + ln [mm](1+\bruch{1}{x})][/mm]
>
> = ln [mm](1-\bruch{1}{x})[/mm] - ln [mm](1+\bruch{1}{x})[/mm]
>
> Durch [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}[/mm] wird aus [mm]\bruch{1}{x}[/mm] =
> 0
>
> Daher nur noch
>
> ln1 - ln1 = 0
>
> Macht aus der gesamten Gleichung
>
> [mm]\infty \*[/mm] 0
>
> und ich bin keine Stück weiter, kann mir jemand helfen?
Wie fast immer, wenn du [mm] $0\cdot{}\infty$ [/mm] hast, umschreiben in einen Quotienten und dann mit de l'Hôpital ran, es ist doch fast immer dasselbe Schema 
Hier hast du bei direktem Grenzübergang [mm] $x\to\infty$ [/mm] den unbestimmten Ausdruck [mm] $\infty\cdot{}0$ [/mm] - das ist Kacke, also versuchen wir
[mm] $f(x)=\frac{\ln\left(\frac{x-1}{x+1}\right)}{\frac{1}{x}}$
[/mm]
Das strebt nun für [mm] $x\to\infty$ [/mm] gegen den unbestimmten Ausdruck [mm] $\frac{0}{0}$, [/mm] außerdem ist $f(x)$ ein Quotient, wunderbar, also feste mit de l'Hôpital draufschlagen ....
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:06 Mi 29.04.2009 | | Autor: | ganzir |
| Aufgabe | | $ [mm] f(x)=\frac{\ln\left(\frac{x-1}{x+1}\right)}{\frac{1}{x}} [/mm] $ |
Diese Idee ist mir auch schon gekommen, allerdings habe ich sie aus folgendem Grund wieder verworfen:
Im nenner des Hauptbruches steht nun der Bruch [mm] \bruch{1}{x}
[/mm]
gemäß l'Hospital bilde ich hiervon nun die Ableitung. (mit der Quatientenregel)
Zur Erinnerung f = [mm] \bruch{u}{v}
[/mm]
=> [mm] f'=\bruch{u'v-uv'}{v^{2}}
[/mm]
Damit habe ich doch um auf meine Funktion zurück zu kommen im Nenner des Nenners, des Hauptbruches doch in jedem Fall [mm] x^{2} [/mm] stehen ... führt das nicht wieder zu einem unbestimmten und wenn ich wieder l'H anwende steht dor dann [mm] x^{4} [/mm] usw. oder bin ich gedanklich irgendwo falsch abgebogen?
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Hallo nochmal,
> [mm]f(x)=\frac{\ln\left(\frac{x-1}{x+1}\right)}{\frac{1}{x}}[/mm]
> Diese Idee ist mir auch schon gekommen, allerdings habe
> ich sie aus folgendem Grund wieder verworfen:
>
> Im nenner des Hauptbruches steht nun der Bruch
> [mm]\bruch{1}{x}[/mm]
> gemäß l'Hospital bilde ich hiervon nun die Ableitung. (mit
> der Quotientenregel)#
Nein, nein, nach de l'Hôpital musst du doch Zähler und Nenner getrennt ableiten
>
> Zur Erinnerung f = [mm]\bruch{u}{v}[/mm]
>
> => [mm]f'=\bruch{u'v-uv'}{v^{2}}[/mm]
>
> Damit habe ich doch um auf meine Funktion zurück zu kommen
> im Nenner des Nenners, des Hauptbruches doch in jedem Fall
> [mm]x^{2}[/mm] stehen ... führt das nicht wieder zu einem
> unbestimmten und wenn ich wieder l'H anwende steht dor dann
> [mm]x^{4}[/mm] usw. oder bin ich gedanklich irgendwo falsch
> abgebogen?
Ääh, irgendwie Schlingerkurs würde ich sagen
Das gibt für den Nenner einfach [mm] $-\frac{1}{x^2}$
[/mm]
Wenn du den Zähler noch ableitest, gibt das auch einen Bruch, du bekommst insgesamt also einen Doppelbruch, der sich schön vereinfachen lässt uns dessen GW für [mm] $x\to\infty$ [/mm] sich ablesen lässt
Zieh's das einfach mal komplett durch, ist echt nicht wild im Endeffekt
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:17 Mi 29.04.2009 | | Autor: | ganzir |
| Aufgabe | | Nein, nein, nach de l'Hôpital musst du doch Zähler und Nenner getrennt ableiten |
Ja vom HAUPTBRUCH, aber wenn ich denn Nenner des Hauptbruches ableite und dieser Nenner ebefalls wieder ein Bruch ist, dann bilde ich davon die Ableitung doch nicht mehr nach l'Hospital oder doch?
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Hallo nochmal,
> Nein, nein, nach de l'Hôpital musst du doch Zähler und
> Nenner getrennt ableiten
> Ja vom HAUPTBRUCH, aber wenn ich denn Nenner des
> Hauptbruches ableite und dieser Nenner ebefalls wieder ein
> Bruch ist, dann bilde ich davon die Ableitung doch nicht
> mehr nach l'Hospital oder doch?
![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]") , aber ich verstehe nicht recht, was du meinst. Eine "de l'Hôpital-Kur" reicht doch aus:
[mm] $\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\ln\left(\frac{x-1}{x+1}\right)}{\frac{1}{x}}=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\left[\ln\left(\frac{x-1}{x+1}\right)\right]'}{\left[\frac{1}{x}\right]'}=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\frac{2}{x^2-1}}{-\frac{1}{x^2}}=\lim\limits_{x\to\infty}-\frac{2x^2}{x^2-1}=....$
[/mm]
So meinte ich das ...
Hmmmm
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:31 Mi 29.04.2009 | | Autor: | ganzir |
Wie haben wohl etwas aneinander vorbeigeredet, ich habe es einfach mal ausprobiert und es hat geklappt.
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