Grenzwert von Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:38 Mo 21.11.2011 | | Autor: | MiKeMaX |
| Aufgabe | Sei [mm] a_{0} [/mm] = 1 und [mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] 3a_{n}(1+a_{n})^{-1} [/mm] für alle n [mm] \in \IN_{0}.
[/mm]
a) Zeige: 1 [mm] \le a_{n} \le a_{n+1} \le [/mm] 3 für alle n [mm] \in \IN_{0}.
[/mm]
b) Berechne [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}. [/mm] |
Also a) habe ich über vollständige Induktion gelöst:
Induktionsanfang n = 0: [mm] a_{1} [/mm] = [mm] 3*1(1+1)^{-1} [/mm] = 3/2
Also: 1 [mm] \le a_{0} \le a_{1} [/mm] = 3/2 [mm] \le [/mm] 3
Induktionsannahme: Es gebe ein n, sodass [mm] 1 \le a_{n} \le a_{n+1} \le [/mm] 3
Induktionsschluss: Zu zeigen: 1 [mm] \le a_{n+1} \le a_{n+2} \le [/mm] 3
Beweis: Mit Induktionsannahme: 1 [mm] \le a_{n+1} [/mm] = [mm] 3*a_{n}(1+a_{n})^{-1} \le 3*a_{n+1}(1+a_{n+1})^{-1} [/mm] = [mm] a_{n+2}
[/mm]
Ferner gilt: [mm] a_{n+2} [/mm] = [mm] 3*a_{n+1}(1+a_{n+1})^{-1} \underbrace{\le}_{IA} 3*3(1+3)^{-1} [/mm] = [mm] 9*4^{-1} [/mm] = 9/4 [mm] \le [/mm] 3. => Beh. [mm] \Box [/mm] q.e.d.
So. Das habe ich mit Hilfe des Vorlesungsstoffes und Beispielen lösen können. Ich hoffe das ist auch alles soweit korrekt.
Aber bei b) finde ich absolut keinen Ansatz, wie ich auf den Grenzwert kommen soll. Ich weiß nicht, welches Kriterium ich auf die Folge anwenden soll, oder wie ich sie geschickt umformen könnte...
Vielleicht könntet ihr mir ja ein wenig auf die Sprünge helfen. Bin jedoch erst im ersten Semester, kenne also noch nicht so viele Verfahren für Folgen und Reihen.
Danke und Grüße :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:49 Mo 21.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]a_{0}[/mm] = 1 und [mm]a_{n+1}[/mm] = [mm]3a_{n}(1+a_{n})^{-1}[/mm] für alle
> n [mm]\in \IN_{0}.[/mm]
> a) Zeige: 1 [mm]\le a_{n} \le a_{n+1} \le[/mm] 3
> für alle n [mm]\in \IN_{0}.[/mm]
> b) Berechne
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}.[/mm]
> Also a) habe ich über
> vollständige Induktion gelöst:
>
> Induktionsanfang n = 0: [mm]a_{1}[/mm] = [mm]3*1(1+1)^{-1}[/mm] = 3/2
> Also: 1 [mm]\le a_{0} \le a_{1}[/mm] = 3/2 [mm]\le[/mm] 3
>
> Induktionsannahme: Es gebe ein n, sodass [mm]1 \le a_{n} \le a_{n+1} \le[/mm]
> 3
>
> Induktionsschluss: Zu zeigen: 1 [mm]\le a_{n+1} \le a_{n+2} \le[/mm]
> 3
>
> Beweis: Mit Induktionsannahme: 1 [mm]\le a_{n+1}[/mm] =
> [mm]3*a_{n}(1+a_{n})^{-1} \le 3*a_{n+1}(1+a_{n+1})^{-1}[/mm] =
> [mm]a_{n+2}[/mm]
Da stehen nur unbewiesene Ungleichungen und falsches !
>
> Ferner gilt: [mm]a_{n+2}[/mm] = [mm]3*a_{n+1}(1+a_{n+1})^{-1} \underbrace{\le}_{IA} 3*3(1+3)^{-1}[/mm]
> = [mm]9*4^{-1}[/mm] = 9/4 [mm]\le[/mm] 3. => Beh. [mm]\Box[/mm] q.e.d.
Hier ebenso. Bedenke: aus x [mm] \le [/mm] y folgt i.a. nicht , dass [mm] (1+x)^{-1} \le (1+y)^{-1} [/mm] ist !!
Aus x [mm] \le [/mm] y folgt: [mm] (1+y)^{-1} \le (1+x)^{-1}
[/mm]
>
> So. Das habe ich mit Hilfe des Vorlesungsstoffes und
> Beispielen lösen können. Ich hoffe das ist auch alles
> soweit korrekt.
>
> Aber bei b) finde ich absolut keinen Ansatz, wie ich auf
> den Grenzwert kommen soll. Ich weiß nicht, welches
> Kriterium ich auf die Folge anwenden soll, oder wie ich sie
> geschickt umformen könnte...
Ist a der GW der Folge, so folgt aus
$ [mm] a_{n+1} [/mm] $ = $ [mm] 3a_{n}(1+a_{n})^{-1} [/mm] $
für a die Gleichung
$ a $ = $ [mm] 3a(1+a)^{-1} [/mm] $
FRED
>
> Vielleicht könntet ihr mir ja ein wenig auf die Sprünge
> helfen. Bin jedoch erst im ersten Semester, kenne also noch
> nicht so viele Verfahren für Folgen und Reihen.
>
> Danke und Grüße :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:08 Mo 21.11.2011 | | Autor: | MiKeMaX |
Ich kann nicht ganz verstehen, wieso mein Beweis falsch sein soll. Die Ungleichungen, die ich aufgestellt habe, folgen doch alle aus der Induktionsannahme, wo ich dann jeweils eingesetzt habe, was nach der Induktionsannahme [mm] \le [/mm] ist. Also unser Professor hat das auf genau dem gleichen Weg für [mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] \sqrt{a_{n}+5} [/mm] gezeigt, dass 0 [mm] \le a_{n} \le a_{n+1} \le [/mm] 5 [mm] \forall [/mm] n ist.
// EDIT: Ich denke nochmal über meinen Beweis nach. Ich merke grade, dass ich nicht beachtet habe, dass ich durch ^-1 den Nenner ja vergrößere.
Okay, aber um auf Aufg. b) zurück zu kommen.
Ich verstehe nicht ganz wie du dazu kommst, dass das für a folgt. Also so ähnlich hatte unser Prof das auch mit der Wurzelfolge von oben gemacht, aber das hatte ich eben schon nicht verstanden.
Was muss ich dann machen?
Ich dachte mir, dass ich dann einfach nach a auflösen muss:
a = [mm] 3a(1+a)^{-1} [/mm]
[mm] \gdw [/mm] a = [mm] \frac{3a}{1+a}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] a(1+a) = 3a
[mm] \gdw a^{2}+a-3a [/mm] = 0
[mm] \gdw a^{2} [/mm] - 2a = 0
Soweit richtig?
Dann wäre ja a(a-2) = 0
=> a = 0, a = 2.
Aber was ist nun richtig?
Oder ist das einfache Auflösen falsch, bzw. hab ich irgendwo einen arithmetischen Fehler, den ich nicht sehe?
// Edit 2: Man ich weiß jetzt echt nicht, wie ich den Beweis dann korrekt führen soll! :-/ Geht nicht mehr nach "Schema F"... :D
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:06 Di 22.11.2011 | | Autor: | MiKeMaX |
Also ich hatte noch eine Idee für den Beweis.
Wenn ich in der Induktionsannahme sage, dass [mm] a_{0} \le a_{1} \le a_{n+1} \le a_{n+2} \le [/mm] 3 ist und [mm] a_{0} = [/mm] 1 ist.
Dann in einem ersten Schritt erstmal zeige, dass der Zähler für jedes x [mm] \ge [/mm] 1 und [mm] x\in \IR [/mm] größer als der Nenner ist, somit eine Zahl größer gleich 1 rauskommt und dann mit der Induktionsannahme kombiniere, so müssten doch die Brüche auch wachsen, oder nicht?
Das zu zeigen würde ich mit der Ungleichungskette:
x+1 [mm] \le [/mm] x+x [mm] \le [/mm] 2x [mm] \le [/mm] 3x lösen.
Geht das?
PS: Bei Aufg. b) habe ich auch noch keine Lösung außer die in dem Beitrag über diesem...
Edit: b) ist soweit verstanden worden! :)
Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Fr 25.11.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Hallo MiKeMaX,
> Ich kann nicht ganz verstehen, wieso mein Beweis falsch
> sein soll. Die Ungleichungen, die ich aufgestellt habe,
> folgen doch alle aus der Induktionsannahme, wo ich dann
> jeweils eingesetzt habe, was nach der Induktionsannahme [mm]\le[/mm]
> ist. Also unser Professor hat das auf genau dem gleichen
> Weg für [mm]a_{n+1}[/mm] = [mm]\sqrt{a_{n}+5}[/mm] gezeigt, dass 0 [mm]\le a_{n} \le a_{n+1} \le[/mm]
> 5 [mm]\forall[/mm] n ist.
>
> // EDIT: Ich denke nochmal über meinen Beweis nach. Ich
> merke grade, dass ich nicht beachtet habe, dass ich durch
> ^-1 den Nenner ja vergrößere.
>
> Okay, aber um auf Aufg. b) zurück zu kommen.
>
> Ich verstehe nicht ganz wie du dazu kommst, dass das für a
> folgt. Also so ähnlich hatte unser Prof das auch mit der
> Wurzelfolge von oben gemacht, aber das hatte ich eben schon
> nicht verstanden.
>
> Was muss ich dann machen?
Na, wenn a der GW ist, so ist doch wohl [mm] $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}a_{n+1}=a$
[/mm]
Da kannst du im Grenzprozess also in der rekursiven Definition $a$ "einsetzen"
>
> Ich dachte mir, dass ich dann einfach nach a auflösen
> muss:
Jo!
>
> a = [mm]3a(1+a)^{-1}[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] a = [mm]\frac{3a}{1+a}[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] a(1+a) = 3a
> [mm]\gdw a^{2}+a-3a[/mm] = 0
> [mm]\gdw a^{2}[/mm] - 2a = 0
>
> Soweit richtig?
>
> Dann wäre ja a(a-2) = 0
> => a = 0, a = 2. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Aber was ist nun richtig?
Nach a) ist doch [mm] $1\le a_n\le a_{n+1}\le [/mm] 3$
Was kommt da also für den GW nur infrage?
>
> Oder ist das einfache Auflösen falsch, bzw. hab ich
> irgendwo einen arithmetischen Fehler, den ich nicht sehe?
>
> // Edit 2: Man ich weiß jetzt echt nicht, wie ich den
> Beweis dann korrekt führen soll! :-/ Geht nicht mehr nach
> "Schema F"... :D
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:40 Di 22.11.2011 | | Autor: | MiKeMaX |
Ahh, natürlich! Es konvergiert dann dementsprechend gegen 2, weil natürlich jedes Folgenglied die Ungleichungskette erfüllen muss!
Super, dann fehlt nur noch der Beweis! :)
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